РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 1068 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.19. Шар, 3.20. Взаимное расположение шара и плоскости, 4.4. Объёмы круглых тел

Задания на 9 баллов

На поверхности шара с центром в точке O выбраны точки A, B и C так, что у пирамиды OABC все ребра равны. Найдите объем шара, если точка O удалена от плоскости ABC на $корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$

Решение. Сечением шара плоскостью ABC является круг с центром O₁. Пирамида OABC  — правильная пирамида. Точка O₁  — центр описанной окружности равностороннего треугольника ABC. Отрезок OO₁  — высота пирамиды OABC. Пусть ребро пирамиды равно a, тогда радиус AO₁ равен $AO_1= дробь: числитель: a, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$ В прямоугольном треугольнике AO₁O по теореме Пифагора имеем:

$OA в квадрате =AO_1 в квадрате плюс OO_1 в квадрате равносильно a в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате равносильно a в квадрате = дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби плюс 6 равносильно a=3.$

Следовательно, радиус шара $R=OA=3.$ Таким образом, объем шара равен

$V_шара= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби Пи R в кубе = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби Пи 3 в кубе =36 Пи .$

Ответ: $36 Пи .$

1068

$36 Пи .$

Классификатор алгебры: 3.19. Шар, 3.20. Взаимное расположение шара и плоскости, 4.4. Объёмы круглых тел

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1068	$36 Пи .$