Образовательный портал «РЕШУ ЦТ» — математика–11Б

Задания

Задание № 110 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 3.19. Шар, 3.23. Комбинации круглых тел, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Задания на 10 баллов

Металлический шар радиуса R переплавлен в конус, боковая поверхность которого в два раза больше площади его основания. Найдите высоту конуса.

Решение. Площадь основания конуса $S_осн= Пи r в квадрате ,$ площадь боковой поверхности $S_бок.пов.= Пи r L.$ По условию:

$дробь: числитель: Пи rL, знаменатель: Пи r в квадрате конец дроби = дробь: числитель: L, знаменатель: r конец дроби =2.$

Тогда $L=2r.$ Высота конуса равна:

$H= корень из: начало аргумента: L в квадрате минус r в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 4r в квадрате минус r в квадрате конец аргумента =r корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Тогда $r= дробь: числитель: H, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$ Воспользуемся формулой объема конуса:

$V_кон= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи r в квадрате H= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на дробь: числитель: H в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби умножить на H= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби Пи H в кубе .$

Воспользуемся формулой площади шара:

$V_шара= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби Пи R в кубе .$

Из условия следует, что $V_шара=V_кон,$ тогда:

$дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби Пи R в кубе = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби Пи H в кубе равносильно H=R корень 3 степени из: начало аргумента: 12 конец аргумента .$

Ответ: $R корень 3 степени из: начало аргумента: 12 конец аргумента .$

110

$R корень 3 степени из: начало аргумента: 12 конец аргумента .$

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 3.19. Шар, 3.23. Комбинации круглых тел, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	110	$R корень 3 степени из: начало аргумента: 12 конец аргумента .$