РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 1249 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.9. Прочие логарифмические уравнения

Методы алгебры: Введение замены, Использование свойств функций

Задания на 10 баллов

Найдите произведение корней уравнения $логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 2 x минус 6 = 0.$

Решение. Пусть $t = логарифм по основанию 2 x.$ Имеем:

$t в квадрате плюс t левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 2x минус 6 = 0 равносильно t = дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка \pm корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 2x минус 6 правая круглая скобка конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений t = минус 2,t = 3 минус x. конец совокупности .$

Вернувшись к исходной переменной, получаем:

$совокупность выражений логарифм по основанию 2 x = минус 2, логарифм по основанию 2 x = 3 минус x. конец совокупности .$

Решением первого уравнения совокупности является число $x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ Рассмотрим второе уравнение системы. Видим, что число x  =  2  — решение. Покажем, что других решений нет. Функция $f_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 x$ возрастает на области определения x > 0, а функция $f_2 левая круглая скобка x правая круглая скобка = 3 минус x$ является убывающей. Таким образом, графики функций и f₂(x) имеют только одну общую точку. Произведение корней уравнения равно $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

1249

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Классификатор алгебры: 5.9. Прочие логарифмические уравнения

Методы алгебры: Введение замены, Использование свойств функций

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1249	$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$