Ре­ше­ние. Бо­ко­вые ребра приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны ее ос­но­ва­нию, а длина вы­со­ты приз­мы равна длине бо­ко­во­го ребра. Точка M  — се­ре­ди­на ребра приз­мы BB₁. По­стро­им се­че­ние приз­мы плос­ко­стью AMD. Пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны, по­это­му по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти пря­мая AD па­рал­лель­на плос­ко­сти BB₁C₁C. Се­ку­щая плос­кость AMD пе­ре­се­ка­ет плос­кость BB₁C₁C по пря­мой, ко­то­рая па­рал­лель­на пря­мой AD. В пря­мо­уголь­ни­ке BB₁C₁C по­стро­им от­ре­зок MN па­рал­лель­ный пря­мой BC, точка N лежит на ребре CC₁. Про­ве­дем от­рез­ки DN и AM и по­лу­чим тра­пе­цию AMND, она яв­ля­ет­ся се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью AMD, по усло­вию пло­щадь этой тра­пе­ции равна 48.

Пря­мые MN и BC па­рал­лель­ны, также как и пря­мые MB и NC. Угол B₁BC яв­ля­ет­ся пря­мым, тогда че­ты­рех­уголь­ник BMNC  — пря­мо­уголь­ник. От­сю­да BC  =  MN  =  4, а также MB  =  CN. В тра­пе­ции ABCD опу­стим вы­со­ту BK, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые AD и MK пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Угол MKB  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, его гра­дус­ная мера рана 60°. Так как от­ре­зок MK  — вы­со­та тра­пе­ции AMND, имеем:

Тре­уголь­ник MBK  — пря­мо­уголь­ный, угол KMB равен 30°, тогда длина ка­те­та BK равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы MK, то есть 4. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Длина ребра BB₁ в два раза боль­ше длины от­рез­ка MB и равна Пло­щадь ос­но­ва­ния призы равна пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD. Най­дем ее:

Най­дем объем приз­мы:

Ответ: