Ре­ше­ние. В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом ABC. Опу­стим вы­со­ту SO из вер­ши­ны пи­ра­ми­ды, из точки O, ле­жа­щей на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ля­ры OM, ON, OK к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка ABC. При­ме­нив тео­ре­му о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, по­лу­ча­ем, что пря­мые SM, SN и SK со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мым AC, BC и AB. Углы SMO, SNO и SKO яв­ля­ют­ся ли­ней­ны­ми уг­ла­ми дву­гран­ных углов при реб­рах ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, они равны 60°. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SMO, SNO и SKO равны по об­ще­му ка­те­ту и про­ти­во­ле­жа­ще­му остро­му углу. По­лу­ча­ем, что их ка­те­ты OM, ON и OK равны, а зна­чит, точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC и яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти с ра­ди­у­сом r, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Из­вест­но, что длина ги­по­те­ну­зы AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равна 8. При­мем за x длины ка­те­тов тре­уголь­ни­ка. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC:

Тре­уголь­ник SMO  — пря­мо­уголь­ный, Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC  — ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

Тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

Ответ: 48.