Образовательный портал «РЕШУ ЦТ» — математика–11Б

Задания

Задание № 70 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.3. Правильная четырёхугольная пирамида, 3.19. Шар, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Методы алгебры: Свойства биссектрис треугольника, Теорема Пифагора

Задания на 10 баллов

В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, центр которой делит высоту пирамиды в отношении $5:3,$ считая от вершины. Найдите площадь сферы, если сторона основания пирамиды равна 18.

Решение. Так как O  — центр вписанной сферы, OM  — биссектриса угла PMH. Рассмотрим треугольник PMH:

$HM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 18=9,$

По теореме о биссектрисе треугольника

$дробь: числитель: PO, знаменатель: OH конец дроби = дробь: числитель: PM, знаменатель: MH конец дроби равносильно PM=MH умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби =9 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби =15.$

Тогда PH по теореме Пифагора равна $корень из: начало аргумента: 15 в квадрате минус 9 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 225 минус 81 конец аргумента =12.$ Радиус сферы, равный OH, $дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби PH= дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби умножить на 12= дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби .$

Площадь сферы  — это $4 Пи r в квадрате ,$ следовательно, площадь данной сферы равен

$S=4 Пи левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 4 Пи умножить на 81, знаменатель: 4 конец дроби =81 Пи .$

Ответ: $81 Пи .$

$81 Пи .$

Методы алгебры: Свойства биссектрис треугольника, Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	70	$81 Пи .$