PDF-версии: 
Шар касается сторон треугольника ABC, где AB = 4, BC = 5 и AC = 7. Расстояние от центра O шара до плоскости ABC 
Решение. Пусть шар касается сторон BC, AB и AC в точках M, N, K соответственно. Проведем перпендикуляр OO1 к плоскости треугольника ABC. Радиусы OM, ON и OK перпендикулярны к сторонам треугольника. По теореме о трех перпендикулярах отрезки O1M, O1N, O1K перпендикулярны сторонам BC, AB и AC соответственно. Заметим, что прямоугольные треугольники OO1M, OO1N и OO1K равны по общему катету и гипотенузе, значит,
Поскольку точка O1 равноудалена от сторон треугольника ABC, то она является центром вписанной окружности.
Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона:
В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора найдем радиус шара, имеем:
Ответ: 