РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 969 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.6. Неправильные пирамиды, 4.2. Объем многогранника

Методы алгебры: Теорема о трёх перпендикулярах

Задания на 10 баллов

Основанием пирамиды MABCD служит прямоугольник ABCD. Ребро MB перпендикулярно плоскости основания, а грани AMD и DMC составляют с основанием соответственно углы 30° и 45°. Высота пирамиды равна Н. Найдите объем пирамиды.

Решение. Поскольку проекция MA на плоскость ABCD  — прямая AB, которая перпендикулярна AD, значит, по теореме о трех перпендикулярах прямая MA перпендикулярна прямой AD. Следовательно, угол BAM  — это линейный двугранного угла между гранью AMD и основанием, который равен 30°. Аналогично прямая MC перпендикулярна прямой BC и угол MCB равен 45°.

Треугольник CBM  — прямоугольный равнобедренный, значит, $CB=MB=H.$ Из прямоугольного треугольника MBA выразим AB:

$AB=\ctg30 градусов MB=H корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Таким образом, объем пирамиды равен

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на S_осн умножить на H= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на AB умножить на BC умножить на H= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на H корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на H умножить на H= дробь: числитель: H в кубе корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: H в кубе корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

969

$дробь: числитель: H в кубе корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Классификатор алгебры: 3.6. Неправильные пирамиды, 4.2. Объем многогранника

Методы алгебры: Теорема о трёх перпендикулярах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	969	$дробь: числитель: H в кубе корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$