Про­ве­дем AH пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти Пусть AB  =  5x, а AC  =  6x. При­чем, HC > BH, так как боль­шей про­ек­ции со­от­вет­ству­ет боль­шая на­клон­ная, по­это­му Найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, так как тре­уголь­ни­ки ABH и ACH пря­мо­уголь­ные, то есть:

По смыс­лу за­да­чи x от­ри­ца­тель­ным быть не может, по­это­му он равен 1. Тогда AB  =  5x  =  5 · 1  =  5. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём катет тре­уголь­ни­ка ABH: ²  =  25 − 16  =  9, тогда AH  =  3.

Ответ: 3.

Про­ве­дем KO пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти Пусть MO  =  x, а OP  =  15 − x. Найдём KO по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, так как тре­уголь­ни­ки MKO и KOP пря­мо­уголь­ные, то есть:

Тогда MO  =  x  =  5. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём катет тре­уголь­ни­ка KMO: KO²  =  225 − 25  =  200, тогда

Ответ:

Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Так как пло­щадь этого круга по усло­вию равна см², то его ра­ди­ус равен 3 см.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AOB. От­ре­зок AO = 4 см, AB (ра­ди­ус) = 3 см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра OB (ра­ди­ус шара) = 5 см.

Найдём объём шара по фор­му­ле Имеем:

Ответ: см³.

Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Так как длина линии пе­ре­се­че­ния сферы и се­ку­щей плос­ко­стью равна π см, то ра­ди­ус се­че­ния равен

По фор­му­ле найдём ра­ди­ус сферы:

Зна­чит,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOB от­ре­зок Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Зна­чит, OA  =  1 см, тогда рас­сто­я­ние от цен­тра шара до се­ку­щей плос­ко­сти равно 1 см.

Ответ: 1 см.

Так как пи­ра­ми­да яв­ля­ет­ся пра­виль­ной, то в ее ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Тогда най­дем его пло­щадь по фор­му­ле

Так как H  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, то

Най­дем AM по фор­му­ле вы­со­ты рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка: Тогда

Так как то тре­уголь­ник AHP  — рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный. Зна­чит,

Те­перь най­дем объем пи­ра­ми­ды по фор­му­ле

Ответ: