PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Решите уравнение 
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Решим неравенство методом интервалов:
Так как основание логарифма больше единицы, неравенство не изменит знак:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Решим неравенство методом интервалов:
Так как основание логарифма больше единицы, неравенство не изменит знак:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Из основного тригонометрического тождества: 
По формуле приведения 
Теперь составим новое уравнение:
Введем замену: пусть 
Теперь составим квадратное уравнение на t:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Из основного тригонометрического тождества: 
По формуле приведения: 
Теперь составим новое уравнение: 
Введем замену: пусть 
Теперь составим квадратное уравнение на t:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите неравенство: 
Решение. Основание у логарифмов одинаковое, значит, их можно отбросить и перейти к сравнению аргументов. Основание меньше единицы, следовательно, знак неравенства меняется. Не стоит забывать, что аргумент логарифмической функции должен быть строго больше нуля. Поэтому:
Решите неравенство: 
Решение. Основание у логарифмов одинаковое, значит, их можно отбросить и перейти к сравнению аргументов. Основание меньше единицы, следовательно, знак неравенства меняется. Не стоит забывать, что аргумент логарифмической функции должен быть строго больше нуля. Поэтому:
Найдите область определения выражения : 
Решение. Зададим область определения системой:
Ответ: 
Найдите область определения выражения: 
Решение. Зададим область определения системой:
Ответ: (4; 6).
Решите уравнение : 
Решение. Воспользуемся формулой приведения и решим уравнение:
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Воспользуемся формулой приведения и решим уравнение:
Ответ: {
}.
}. }.Решите уравнение: 
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая область допустимых значений правой части уравнения:
Ответ: {3}.
Решите уравнение: 
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая область допустимых значений правой части уравнения:
Ответ: {3}.
Решите уравнение: 
Решение. Избавимся от знаков радикалов, возведя обе части уравнения в квадрат. Не забудем и об ОДЗ:
Ответ: {
}.
}.}.Решите уравнение: 
Решение. Избавимся от знаков радикалов, возведя обе части уравнения в квадрат. Не забудем и об ОДЗ:
Ответ: {
}.
}.}.Решите уравнение: 
Решение. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности, не забыв при этом про условие на неотрицательность подкорневого одной из частей:
Ответ: 7.
Решите уравнение: 
Решение. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности, не забыв при этом про условие на неотрицательность подкорневого одной из частей:
Ответ: −8.
Вычислите: 
Решение. Зная, что 
вычислим значение исходного выражения:
Ответ: 
Вычислите: 
Решение. Зная, что 
вычислим значение исходного выражения:
Ответ: −1.
Решите уравнение: 
Решение. Используем основное тригонометрическое тождество для решения:
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Используем основное тригонометрическое тождество для решения:
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Ответ: {3}.
Решите неравенство: 
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Ответ: 
Решите неравенство: 
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Ответ: 
Упростите выражение: 
Решение. Упростим выражение:
Ответ: 
Упростите выражение: 
Решение. Упростим выражение:
Ответ: 
Решите систему уравнений: 
Решение. Используем метод подставновки:
Ответ: (27;1).
Решите систему уравнений: 
Решение. Выразим одно слагаемое через другое:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Исходное уравнение равносильно системе:
Ответ: {4}.
Решите уравнение: 
Решение. Исходное уравнение равносильно системе:
Ответ: {4}.
Решите неравенство: 
Решение. Перейдем к сравнению показателей степеней:
Знак неравенства при переходе не меняется, так как основание степени больше единицы.
Ответ: 
Решите неравенство: 
Решение. Перейдем к сравнению показателей степеней:
Знак неравенства при переходе не меняется, так как основание степени больше единицы.
Ответ: 
Найдите 
если 
и 
Решение. Заметим, что угол, равный 
лежит во второй четверти, а значит, его косинус отрицателен. По основному тригонометрическому тождеству вычислим косинус половины искомого угла, а затем, по формуле синуса двойного угла 
найдём синус x:
Ответ: 
Найдите 
если 
и 
Решение. Заметим, что угол x лежит в третьей четверти, а значит, его косинус отрицателен. Используя формулу косинуса двойного угла 
вычислим косинус x:
Ответ: 
Вычислите: 
Решение. Упростим:
Ответ: 
Вычислите: 
Решение. Упростим:
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Возведем обе части уравнения в четвертую степень, учитывая область допустимых значений правой части уравнения, и решим полученное уравнение:
Ответ: {1}.
Решите уравнение: 
Решение. Возведем обе части уравнения в шестую степень, учитывая область допустимых значений правой части уравнения, и решим полученное уравнение:
Ответ: {2}.
Решите уравнение: 
Решение. Пусть 
тогда 
Решим вспомогательное уравнение:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: {
}.
}.}.Решите уравнение: 
Решение. Пусть 
тогда 
Решим вспомогательное уравнение:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: {}.
}.}.Найдите область определения функции: 
Решение. Так как знаменатель не может быть равен 0, решим уравнение:
Таким образом, область определения функции 
Ответ: 
Найдите область определения функции: 
Решение. Так как знаменатель не может быть равен 0, решим уравнение:
Таким образом, область определения функции 
Ответ: 
Найдите значение выражения: 
Решение. Так как 
а 
то имеем:
Ответ: 1.
Найдите значение выражения: 
Решение. Так как 
а то имеем:
Ответ: −1.
Решите уравнение: 
Решение. Из основного тригонометрического тождества: 
Тогда, из условия: 
Решим это уравнение:
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Из основного тригонометрического тождества: 
Тогда, из условия: Решим это уравнение:
Ответ: 
Вычислите 
если 
и 
— угол IV четверти.
Решение. По основному тригонометрическому тождеству 
тогда:
Так как в IV четверти 
меньше нуля, то 
Найдем 
Тогда
Ответ: 
Вычислите если 
и — угол II четверти.
Решение. По основному тригонометрическому тождеству тогда:
Так как в II четверти 
меньше нуля, то 
Найдем
Тогда
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Функция определена, когда подкоренное выражение больше или равно нулю:
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Функция определена, когда подкоренное выражение больше или равно нулю:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Возведём обе части в квадрат:
Ответ: {10}.
Решите уравнение 
Решение. Возведём обе части в квадрат:
Ответ: {5}.
Решите уравнение 
Решение. Умножим обе части на 2x, а затем решим квадратное уравнение относительное 2x:
Корни уравнения, квадратного относительно 
были получены из того, что разность коэффициентов равна 0, а значит, один из корней равен −1, а другой, соответственно, 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Умножим обе части на 3x, а затем решим уравнение, квадратное относительно 3x:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Это уравнение является квадратным относительно 
решим его:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Это уравнение является квадратным относительно решим его:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Упростим:
Ответ: {−1}.
Решите уравнение 
Решение. Упростим:
Ответ: {−1}.
Решите уравнение 
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Ответ: {−4}
Решите уравнение 
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Ответ: {1}.
Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся формулой двойного угла для 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся формулой двойного угла для
Ответ: 
Найдите значение выражения 
Решение. Вычислим:
Ответ: 3.
Найдите значение выражения 
Решение. Вычислим:
Ответ: 9.
Решите уравнение 
Решение. Перейдем к равенству оснований, не забыл про условия на аргумент логарифма:
Ответ: 2.
Решите уравнение 
Решение. Перейдем к равенству аргументов, не забыв про условие:
Ответ: 3.
Найдите, при каких значениях переменной верно равенство 
Решение. Используем формулы приведения. Имеем:
Ответ: 
Найдите, при каких значениях переменной верно равенство: 
Решение. Используем формулы приведения. Имеем:
Ответ: 
Найдите объем конуса, полученного в результате вращения вокруг большего катета прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 
и углом 30°.
Решение. В результате вращения вокруг большего катета прямоугольного треугольника получается конус. Введём обозначения (см. рис.). Поскольку в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то
Отрезок CO — высота конуса, отрезок OB — радиус. Зная угол, найдем OC и OB:
см
см
Воспользуемся формулой объема конуса:
см3.
Ответ: 
Найдите объем конуса, полученного в результате вращения вокруг меньшего катета прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 
и углом 60°.
Решение. В результате вращения вокруг большего катета прямоугольного треугольника получается конус. Введём обозначения (см. рис.). Поскольку в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то
Отрезок CO — высота конуса, отрезок OB — радиус. Зная угол, найдем OC и OB:
см
см
Воспользуемся формулой объема конуса:
см3.
Ответ: 
Высота правильной треугольной пирамиды равна 
а боковая грань образует с основанием пирамиды угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение. Боковые стороны пирамиды образуют с основанием угол в
тогда 
В треугольнике MPH 
тогда
Зная высоту основания, найдем сторону основания через формулу высоты: 
Зная сторону основания и апофему, найдем площадь боковой поверхности пирамиды:
Ответ: 
Высота правильной треугольной пирамиды равна а боковая грань образует с основанием пирамиды угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение. Боковые стороны пирамиды образуют с основанием угол в
тогда В треугольнике MPH 
тогда 
Основание пирамиды — равносторонний треугольник, тогда H — центр вписанной окружности в треугольник ABC, тогда 
Зная высоту основания, найдем сторону основания через формулу высоты:
Зная сторону основания и апофему, найдем площадь боковой поверхности пирамиды:
Ответ: 
Площадь сечения шара плоскостью равна 80π см2. Секущая плоскость удалена от центра шара на 8 см. Найдите площадь шара.
Решение. Сечение шара плоскостью — круг. Поскольку площадь сечения шара плоскостью равна 80π см2, то радиус сечения равен
В прямоугольном треугольнике AOB отрезок 
Тогда по теореме Пифагора:
Найдем площадь шара:
Ответ: 
Составьте уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
Решение. Уравнение прямой имеет вид 
Если прямая 
является касательной к графику функции 
в данной точке, то
Поскольку 
то 
Найдем 
Следовательно, уравнение касательной имеет вид 
Найдем значение функции в точке 
проходит через точку с координатами (1; 2). Подставим эти координаты в уравнение прямой и получим:
в точке с абсциссой 
является 
Ответ: 
Составьте уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
Решение. Уравнение прямой имеет вид Если прямая является касательной к графику функции в данной точке, то
Поскольку 
то 
Найдем
Следовательно, уравнение касательной имеет вид 
Найдем значение функции в точке
проходит через точку с координатами (1; 1). Подставим эти координаты в уравнение прямой и получим:
в точке с абсциссой является 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Ответ: −4.
Найдите абсциссы точек пересечения графика функции 
с осью абсцисс.
Решение. Запишем в виде уравнения:
Ответ: 
Найдите абсциссы точек пересечения графика функции 
с осью абсцисс.
Решение. Запишем в виде уравнения:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 3 см, а двугранный угол при ребре основания равен 45°.
Решение. Объем пирамиды — это 
где h — высота пирамиды. Если двугранный угол при ребре основания равен 45°, угол MNO равен 45°. Значит, треугольник MNO равнобедренный, и ON = MO. Так как пирамида правильная, в основании квадрат и 
Тогда площадь основания равна 
а объем равен 
Ответ: 
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, высота пирамиды равна 
см.
Решение. Поскольку треугольная пирамида правильная, то в основании лежит равносторонний треугольник. Проведем высоту DO, где O — центр окружности, вписанной в основание пирамиды. Проведем высоту AM, которая является также медианой и биссектрисой. Она пройдет через точку O по свойству равностороннего треугольника. Тогда OM — радиус вписанной окружности. По теореме о трех перпендикулярах BC перпендикулярна DM, тогда DM — высота боковой грани.
По формуле радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник получаем, что
Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна
Ответ: 
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см, высота пирамиды равна 
см.
Решение. Поскольку треугольная пирамида правильная, то в основании лежит равносторонний треугольник. Проведем высоту DO, где O — центр окружности, вписанной в основание пирамиды. Проведем высоту AM, которая является также медианой и биссектрисой. Она пройдет через точку O по свойству равностороннего треугольника. Тогда OM — радиус вписанной окружности. По теореме о трех перпендикулярах BC перпендикулярна DM, тогда DM — высота боковой грани.
По формуле радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник получаем, что
Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна
Ответ: 
Найдите площадь полной поверхности конуса, у которого угол при основании осевого сечения равен 60°, а образующая равна 12 м.
Решение. Введём обозначения (см. рис). В прямоугольном треугольнике AOS сторона OB, являющаяся высотой конуса, лежит против угла в 30°, а значит, радиус основания конуса OB в два раза меньше длины образующей, то есть, 6 м. Площадь полной поверхности конуса равна
Ответ: 108π.
Найдите площадь полной поверхности конуса, у которого угол при вершине осевого сечения равен 60°, а образующая равна 6 м.
Решение. Введём обозначения (см. рис). Заметим, что треугольник ASВ — равнобедренный, поскольку AS=BS=l. Следовательно, высота SO является и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике AOS сторона OB, являющаяся высотой конуса, лежит против угла в 30°, а значит, радиус основания конуса OB в два раза меньше длины образующей, то есть, 3 м. Площадь полной поверхности конуса равна
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Решим неравенство:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Решим неравенство:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Решим неравенство:
тогда
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Решим неравенство:
тогда
Ответ: 
Известно, что α и β — углы четвертой четверти и 
Найдите 
Решение. Применим формулу синуса суммы:
Аналогично находим 
Вернемся к формуле синуса суммы:
Ответ: 
Известно, что α и β — углы второй четверти и 
Найдите 
Решение. По формуле синуса разности:
Зная значение 
найдем 
Зная значение 
найдем 
Найдем значение 
Ответ:
Решите неравенство 
Решение. Последовательно получаем:
Применим метод интервалов:
Получаем: 
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Последовательно получаем:
Применим метод интервалов:
Получаем: 
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Последовательно получаем:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Последовательно получаем:
Ответ: 
Найдите значение выражения 
Решение. Воспользовавшись формулой 
и формулами приведения найдем значение выражения:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
Имеем:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 259.
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
Имеем:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 627.
Высота правильной треугольной пирамиды равна 3 см, а боковая грань наклонена к основанию под углом, равным 
Найдите объём пирамиды.
Решение. Пирамида SABC — правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник ABC. Проведем в этом треугольнике высоту AM, тогда, по теореме о трех перпендикулярах, прямые SM и BC перпендикулярны. Угол SMH является линейным углом двугранного угла при основании пирамиды. Так как боковая грань наклонена к основанию под углом, равным
тангенс угла SMH равен 3. Имеем:
В равностороннем треугольнике ABC отрезок AM является высотой и медианой. Вершина пирамиды проецируется в центр треугольника ABC — точку H, которая является центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан треугольника, следовательно, делит медиану AM на два отрезка в отношении 2 : 1 считая от вершины, таким образом, AH : HM = 2 : 1. Тогда длина AM втрое больше длины HM и равна 3 см. В прямоугольном треугольнике AMB угол ABM равен 60°, следовательно, угол BAM равен 30°. Длина катета BM, лежащего напротив угла, равного 30°, равна половине гипотенузы AB. Примем за x длину BM. По теореме Пифагора:
откуда 
Найдем площадь треугольника ABC:
Найдем объем пирамиды:
Ответ: 
Треугольник ABC — прямоугольный 
Точка K удалена на расстояние, равное 5 см, от каждой вершины треугольника. Найдите угол между прямой KC и плоскостью ABC.
Решение. Углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Прямая KO перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, перпендикулярна прямым, лежащим в данной плоскости: OA, OB и OC. Углом между прямой KC и плоскостью ABC является угол KCO. Согласно условию, отрезки AK, BK и CK равны, следовательно, треугольники AOK, BOK и COK равны по катету и гипотенузе (KO — общий катет). Из равенства треугольников следует равенство отрезков OA, OB и OC. Так как длина AB равна сумме длин равных отрезков OA и OB, длины этих отрезков равны 4 см. Найдем косинус угла KCO:
откуда 
Ответ: 
Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а двугранный угол при ребре основания равен 60°. Найдите объем пирамиды.
Решение. В основании пирамиды лежит квадрат ABCD. Апофема пирамиды SK перпендикулярна прямой DC, тогда по теореме о трех перпендикулярах прямые OK и DC перпендикулярны. Угол SKO является линейным углом двугранного угла при ребре основания пирамиды, его градусная мера равна 60°. Тогда в прямоугольном треугольнике SOK угол OSK равен 30°, длина катета OK, лежащего напротив угла OSK, равна половине длины гипотенузы SK, то есть 6 см. Применим теорему Пифагора в этом треугольнике:
Боковые ребра правильной пирамиды равны, отсюда треугольник DSC — равнобедренный. Отрезок SK является высотой и медианой, тогда длины отрезков DK и KC равны. Отрезок OK — средняя линия треугольника ACD, его длина равна половине длины стороны основания пирамиды, отсюда длина стороны основания пирамиды равна 12 см.
Найдем объем пирамиды:
Ответ: 
Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды PABCD плоскостью DBK и найдите его площадь, если известно, что каждое ребро пирамиды равно 6 см и точка K является серединой ребра PC.
Решение. Основанием пирамиды является квадрат ABCD. Искомым сечением является треугольник BKD. В прямоугольном треугольнике ABD по теореме Пифагора:
В равносторонних треугольниках DSC и BSC отрезки DK и BK являются медианами и высотами, тогда длины отрезков SK и KC равны 3 см. В прямоугольном треугольнике DKC по теореме Пифагора:
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BSK:
Треугольник BKD является равнобедренным, так как отрезки DK и BK равны. Отрезок KO является медианой и высотой в равнобедренном треугольнике BKD, тогда длина отрезка BO равна половине длины отрезка BD и равна 
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике KOD:
Найдем площадь треугольника BKD:
Ответ: 
Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды PABCD и плоскостью ACM и найдите его площадь, если известно, что каждое ребро пирамиды равно 4 см и точка M является серединой ребра BP.
Решение. Основанием пирамиды является квадрат ABCD. Искомым сечением является треугольник AMC. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ADC:
В равносторонних треугольниках ASB и SCB отрезки AM и CM являются медианами и высотами, тогда отрезки SM и MB равны 2 см. По теореме Пифагора в треугольнике ASM:
По теореме Пифагора в треугольнике SMC:
Треугольник AMC является равнобедренным, так как отрезки AM и CM равны. Отрезок MO является медианой и высотой в равнобедренном треугольнике AMC, тогда длина AO равна половине длины AC и равна 
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AOM:
Найдем площадь треугольника AMC:
Ответ: 
В прямом параллелепипеде стороны основания равны 3 см и 4 см, а угол между ними 60°. Площадь боковой поверхности этого параллелепипеда равна
Найдите объём параллелепипеда.
Решение. Параллелограмм ABCD лежит в основании параллелепипеда. Найдем площадь основания:
Периметр основания параллелепипеда равен 
Найдем высоту параллелепипеда как отношение площади боковой поверхности и периметра основания:
Найдем объем параллелепипеда:
Ответ: 
В прямом параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 5 см, а угол между ними 45°. Площадь боковой поверхности этого параллелепипеда равна
Найдите объём параллелепипеда.
Решение. Параллелограмм ABCD лежит в основании параллелепипеда. Найдем площадь основания:
Периметр основания параллелепипеда равен 
Найдем высоту параллелепипеда как отношение площади боковой поверхности и периметра основания:
Найдем объем параллелепипеда:
Ответ: 
Из точки A к плоскости к плоскости проведены наклонные AB и AC, длины которых относятся 10 см и 
Найдите расстояние от точки A до плоскости 
если проекции наклонных на эту плоскость относятся как 3 : 4.
Решение. Отрезок AH перпендикулярен плоскости α. Так как длина отрезка AC больше длины отрезка AB, а большей наклонной соответствует большая проекция, то длина отрезка HC больше длины отрезка BH. Пусть длина HC равна 4x см, а длина BH равна 3x см. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH:
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ACH: 
Тогда:
Тогда длина BH равна 6 см. По теореме Пифагора в треугольнике ABH:
Ответ: 8 см.
Найдите все решения неравенства 
Решение. Выполним преобразования:
Применим метод интервалов:
Получаем: 
Ответ: 
Найдите все решения неравенства 
Решение. Выполним преобразования:
Применим метод интервалов:
Получаем: 
Ответ: 
Дан куб 
Длина трехзвенной незамкнутой пространственной ломаной 
равна 
Найдите объем многогранника 
Решение. Примем длину ребра куба за a. Треугольник ABD — прямоугольный, длины его катетов равны a, следовательно, по теореме Пифагора гипотенуза треугольника ABD равна
Ребра куба перпендикулярны плоскости его основания, поэтому треугольник B1BD — прямоугольный, BB1 = a, 
Найдем гипотенузу BD1 по теореме Пифагора:
Выразим длину трехзвенной незамкнутой пространственной ломаной ABB1D в виде суммы длин отрезков AB, BB1 и B1D и, учитывая, что сумма длин этих отрезков равна 
найдем длину ребра куба:
Таким образом, длина ребра куба равна 6. Многогранник B1DD1C1C является четырехугольной пирамидой, в основании которой лежит квадрат DD1C1C. Так как ребра куба перпендикулярны плоскостям его основания, высотой пирамиды является ребро куба B1C1. Найдем объем многогранника B1DD1C1C:
Ответ: 72.
Дан куб Длина трехзвенной незамкнутой пространственной ломаной CDD1B равна 
Найдите объем многогранника 
Решение. Примем длину ребра куба за a. Треугольник BCD — прямоугольный, длины его катетов равны a, следовательно, по теореме Пифагора гипотенуза треугольника BCD равна
Ребра куба перпендикулярны плоскости его основания, поэтому треугольник BDD1 — прямоугольный, DD1 = a, Найдем гипотенузу BD1 по теореме Пифагора:
Выразим длину трехзвенной незамкнутой пространственной ломаной CDD1B в виде суммы длин отрезков CD, DD1 и D1B и, учитывая, что сумма длин этих отрезков равна 
найдем длину ребра куба:
Таким образом, длина ребра куба равна 9. Многогранник A1B1C1D1D является четырехугольной пирамидой, в основании которой лежит квадрат A1B1C1D1. Так как ребра куба перпендикулярны плоскостям его основания, высотой пирамиды является ребро куба DD1. Найдем объем многогранника A1B1C1D1D:
Ответ: 243.
| № п/п | № задания | Ответ |
| 1 | 7 | |
| 2 | 17 | |
| 3 | 27 | |
| 4 | 37 | |
| 5 | 47 | |
| 6 | 57 | |
| 7 | 67 | |
| 8 | 77 | |
| 9 | 87 | |
| 10 | 97 | (4; 6). |
| 11 | 107 | |
| 12 | 117 | { }. |
| 13 | 127 | 3 |
| 14 | 137 | 3 |
| 15 | 147 | {}. |
| 16 | 157 | {}. |
| 17 | 167 | 7 |
| 18 | 177 | -8 |
| 19 | 187 | |
| 20 | 197 | -1 |
| 21 | 207 | |
| 22 | 217 | |
| 23 | 227 | |
| 24 | 237 | 3 |
| 25 | 247 | |
| 26 | 257 | |
| 27 | 267 | |
| 28 | 277 | |
| 29 | 287 | (27;1) |
| 30 | 297 | |
| 31 | 307 | 4 |
| 32 | 317 | 4 |
| 33 | 327 | |
| 34 | 337 | |
| 35 | 347 | |
| 36 | 357 | |
| 37 | 367 | |
| 38 | 377 | |
| 39 | 387 | 1 |
| 40 | 397 | 2 |
| 41 | 407 | {}. |
| 42 | 417 | {}. |
| 43 | 427 | |
| 44 | 437 | |
| 45 | 447 | 1 |
| 46 | 457 | -1 |
| 47 | 467 | |
| 48 | 477 | |
| 49 | 487 | |
| 50 | 497 | |
| 51 | 507 | |
| 52 | 517 | |
| 53 | 527 | {10}. |
| 54 | 537 | {5}. |
| 55 | 547 | |
| 56 | 557 | |
| 57 | 567 | |
| 58 | 577 | |
| 59 | 587 | {−1}. |
| 60 | 597 | {−1}. |
| 61 | 607 | -4 |
| 62 | 617 | 1 |
| 63 | 627 | |
| 64 | 637 | |
| 65 | 647 | 3 |
| 66 | 657 | 9 |
| 67 | 667 | 2 |
| 68 | 677 | 3 |
| 69 | 687 | |
| 70 | 697 | |
| 71 | 726 | |
| 72 | 736 | |
| 73 | 746 | |
| 74 | 756 | |
| 75 | 776 | |
| 76 | 786 | |
| 77 | 796 | |
| 78 | 835 | −4. |
| 79 | 846 | |
| 80 | 856 | |
| 81 | 926 | |
| 82 | 936 | |
| 83 | 946 | |
| 84 | 1046 | |
| 85 | 1056 | |
| 86 | 1086 | 108π. |
| 87 | 1096 | |
| 88 | 1106 | |
| 89 | 1116 | |
| 90 | 1126 | |
| 91 | 1136 | |
| 92 | 1146 | |
| 93 | 1156 | |
| 94 | 1166 | |
| 95 | 1176 | |
| 96 | 1186 | |
| 97 | 1196 | |
| 98 | 1216 | |
| 99 | 1236 | |
| 100 | 1246 | 259. |
| 101 | 1256 | 627. |
| 102 | 1276 | |
| 103 | 1297 | |
| 104 | 1316 | |
| 105 | 1326 | |
| 106 | 1336 | |
| 107 | 1346 | |
| 108 | 1356 | |
| 109 | 1376 | 8 см. |
| 110 | 1386 | |
| 111 | 1396 | |
| 112 | 1406 | 72. |
| 113 | 1416 | 243. |
