РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси и проходящей на расстоянии 6 от нее, если площадь полной поверхности цилиндра равна $600 Пи ,$ а площадь боковой поверхности  — $400 Пи .$

Решение. Согласно условию, площадь полной поверхности цилиндра равна 600π, а площадь боковой поверхности цилиндра равна 400π. Тогда площадь основания равна полуразности площади полной поверхности цилиндра и площади боковой поверхности, то есть 100π. Площадь основания цилиндра равна $S = Пи r в квадрате ,$ откуда r  =  10. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S = 2 Пи r h,$ откуда h  =  20. Осью цилиндра является отрезок O₁O₂, искомое сечение  — прямоугольник ABCD. Плоскость ABC перпендикулярна плоскостям оснований цилиндра. В треугольнике CO₁B опустим высоту O₁K. Так как плоскость ABC перпендикулярна плоскости основания цилиндра, прямая O₁K перпендикулярна плоскости ABC, отрезок O₁K является расстоянием от оси цилиндра до плоскости сечения. Треугольник CO₁B является равнобедренным, так как его стороны CO₁ и O₁B являются радиусами одной окружности. Проведенная высота O₁K по свойству равнобедренного треугольника является медианой, таким образом, отрезки BK и KC равны. В прямоугольном треугольнике O₁KC по теореме Пифагора:

$O_1K в квадрате плюс KC в квадрате = O_1C в квадрате равносильно 6 в квадрате плюс KC в квадрате = 10 в квадрате равносильно KC в квадрате = 64 равносильно KC = 8,$

тогда длина BC равна 16. Длины образующий цилиндра равны его высоте, откуда CD  =  20. Найдем площадь прямоугольника ABCD:

$S = BC умножить на CD = 16 умножить на 20 = 320.$

Ответ: 320.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1299	320.

Ключ