PDF-версии: 
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°, а апофема равна 
дм.
Решение. Пусть данная пирамида изображена на рисунке (см. рис).
Проведём высоту AM к стороне BC, апофему DM в плоскости треугольника BDC, высоту пирамиды DO. Примем высоту DO за x. Угол DAO — угол между ребром и плоскостью основания, поэтому он равен 45°. Поэтому AO = DO.
Точка O — центр правильного треугольника ABC. Отрезок MO составляет третью часть от высоты/медианы AM, а AO — две трети (O — точка пересечения медиан, делит их в отношении 2:1, считая от вершины).
Найдём x, воспользовавшись теоремой Пифагора в треугольнике DOM:
Итак, высота AM равна 
теперь найдём сторону треугольника ABC:
а затем его площадь S:
Наконец, найдём объём V пирамиды DABC:
Ответ: 18 дм3.