Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 540
i

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен r, рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до его об­ра­зу­ю­щей равно k. Вы­ра­зи­те через r и k пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ник ABC  — осе­вое се­че­ние, CO  — вы­со­та ко­ну­са, OK  =  k  — пер­пен­ди­ку­ляр к об­ра­зу­ю­щей BC.

Пусть \angle OCB = \angle KOB = альфа . Тогда из тре­уголь­ни­ка KOB ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: r конец дроби . Так как угол α ост­рый, по­лу­ча­ем, что

синус альфа = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: k в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: r в квад­ра­те конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в квад­ра­те минус k в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: r конец дроби .

В тре­уголь­ни­ке OCB:

BC = дробь: чис­ли­тель: OB, зна­ме­на­тель: синус альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в квад­ра­те минус k в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: r конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в квад­ра­те минус k в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти найдём по фор­му­ле

S_Б. П. = Пи r умно­жить на BC = Пи r дробь: чис­ли­тель: r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в квад­ра­те минус k в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи r в кубе ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в квад­ра­те минус k в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: r в квад­ра­те минус k в квад­ра­те конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: Пи r в кубе ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в квад­ра­те минус k в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: r в квад­ра­те минус k в квад­ра­те конец дроби .

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 4.3. Пло­щадь по­верх­но­сти круг­лых тел
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние три­го­но­мет­рии
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024