В основании пирамиды лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 10. Все двугранные углы при ребрах основания равны 45°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Решение. 
В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом ABC. Опустим высоту SO из вершины пирамиды, из точки O, лежащей на основании пирамиды, проведем перпендикуляры OM, ON, OK к сторонам треугольника ABC. Применив теорему о трех перпендикулярах, получаем, что прямые SM, SN и SK соответственно перпендикулярны прямым AC, BC и AB. Углы SMO, SNO и SKO являются линейными углами двугранных углов при ребрах основания пирамиды, они равны 45°. Прямоугольные треугольники SMO, SNO и SKO равны по общему катету и противолежащему острому углу. Получаем, что их катеты OM, ON и OK равны, а значит, точка O равноудалена от всех сторон треугольника ABC и является центром окружности с радиусом r, вписанной в треугольник ABC. Известно, что длина гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC равна 10. Примем за x длины катетов треугольника. Применим теорему Пифагора:
Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник ABC:
Треугольник SMO — прямоугольный, 
Найдем площадь треугольника ABC — основания пирамиды:
Найдем площадь боковой поверхности пирамиды:
Тогда площадь полной поверхности пирамиды равна
Ответ: 
Ответ: 
