Дан конус, высота которого равна 8. Определите, на каком расстоянии от плоскости основания конуса нужно провести плоскость, параллельную плоскости основания, чтобы этой плоскостью конус разделился на части, объёмы которых относятся как 3 : 5, считая от вершины конуса.
Плоскость, заданная в условии, отсекает конус. Пусть h — высота данного конуса, h1 — высота отсеченного конуса, r — радиус основания данного конуса, r1 — радиус основания усеченного конуса. Так как объем отсеченного конуса относится к объему усеченного данного конуса как 3 : 5, объем отсеченного конуса относится к объему данного конуса как 3 : 8. Треугольники BO1A1 и BOA подобны по двум углам, следовательно, отношение радиусов отсеченного и данного конусов равно отношению высот отсеченного и данного конусов, а значит, отношение квадратов радиусов отсеченного и данного конусов равно отношению квадратов высот отсеченного и данного конусов. Выразим отношение объемов отсеченного и данного конусов:
Так как отношение объемов конусов равно 3 : 8, имеем:
Искомым расстоянием является длина отрезка O1O, равная разности высот конусов. Имеем:
Ответ: