Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

По­строй­те се­че­ние пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды PABCD плос­ко­стью DBK и най­ди­те его пло­щадь, если из­вест­но, что каж­дое ребро пи­ра­ми­ды равно 6 см и точка K яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра PC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD. Ис­ко­мым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник BKD. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

AB в квад­ра­те плюс AD в квад­ра­те = BD в квад­ра­те рав­но­силь­но 6 в квад­ра­те плюс 6 в квад­ра­те = BD в квад­ра­те рав­но­силь­но BD в квад­ра­те = 72 рав­но­силь­но BD = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 72 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но BD = 6 ко­рень из 2 см.

В рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ках DSC и BSC от­рез­ки DK и BK яв­ля­ют­ся ме­ди­а­на­ми и вы­со­та­ми, тогда длины от­рез­ков SK и KC равны 3 см. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DKC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

DK в квад­ра­те плюс KC в квад­ра­те = DC в квад­ра­те рав­но­силь­но DK в квад­ра­те плюс 3 в квад­ра­те = 6 в квад­ра­те рав­но­силь­но
рав­но­силь­но DK в квад­ра­те = 27 рав­но­силь­но DK = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 27 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но DK = 3 ко­рень из 3 см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BSK:

BK в квад­ра­те плюс SK в квад­ра­те = BS в квад­ра­те рав­но­силь­но BK в квад­ра­те плюс 3 в квад­ра­те = 6 в квад­ра­те рав­но­силь­но BK в квад­ра­те = 27 рав­но­силь­но BK = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 27 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но BK = 3 ко­рень из 3 см.

Тре­уголь­ник BKD яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, так как от­рез­ки DK и BK равны. От­ре­зок KO яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и вы­со­той в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке BKD, тогда длина от­рез­ка BO равна по­ло­ви­не длины от­рез­ка BD и равна 3 ко­рень из 2 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KOD:

KO в квад­ра­те плюс OD в квад­ра­те = KD в квад­ра­те рав­но­силь­но KO в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но KO в квад­ра­те = 9 рав­но­силь­но KO = 3 см.

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKD:

S = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на BD умно­жить на KO = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 6 ко­рень из 2 умно­жить на 3 = 9 ко­рень из 2 см в квад­ра­те .

Ответ: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та см в квад­ра­те .


Аналоги к заданию № 1326: 1336 Все

Классификатор алгебры: 3.3. Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да, 5.6. Се­че­ние  — тре­уголь­ник, 5.9. Пе­ри­метр, пло­щадь се­че­ния
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024