Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 76
i

Пло­щадь ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы равна 8 см2, а ее диа­го­наль со­став­ля­ет с плос­ко­стью бо­ко­вой грани угол 30°. Най­ди­те объем приз­мы.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Объем приз­мы  — это пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы, умно­жен­ная на ее вы­со­ту. Если пло­щадь ос­но­ва­ния (ко­то­рое яв­ля­ет­ся квад­ра­том) равна 8, то сто­ро­на ос­но­ва­ния равна  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Угол между B1D и бо­ко­вой сто­ро­ной  — это угол B1DC1. Сто­ро­на B1C1 равна сто­ро­не BC. Тогда рас­смот­рим тре­уголь­ник B1C1D: он пря­мо­уголь­ный, так как приз­ма пра­виль­ная, сто­ро­на B1C1 яв­ля­ет­ся ка­те­том и лежит про­тив угла в 30°. Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на B1D равна B_1C_1 умно­жить на 2=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник B1DB: BD  — это диа­го­наль ос­но­ва­ния, рав­ная AB умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =2, тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный. Мы знаем сто­ро­ны BD и B1D, сле­до­ва­тель­но, мы можем найти сто­ро­ну BB1 по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

BB_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 32 минус 16 конец ар­гу­мен­та =4.

Зна­чит, объем приз­мы равен V= левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на 4=36 см в кубе .

Ответ: 32 см3.

Классификатор алгебры: 3.11. Пра­виль­ная четырёхуголь­ная приз­ма, 4.2. Объем мно­го­гран­ни­ка
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра