При­мем длину ребра куба за a. Тре­уголь­ник BCD  — пря­мо­уголь­ный, длины его ка­те­тов равны a, сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за тре­уголь­ни­ка BCD равна Ребра куба пер­пен­ди­ку­ляр­ны плос­ко­сти его ос­но­ва­ния, по­это­му тре­уголь­ник BDD₁  — пря­мо­уголь­ный, DD₁  =  a, Най­дем ги­по­те­ну­зу BD₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Вы­ра­зим длину трех­звен­ной не­за­мкну­той про­стран­ствен­ной ло­ма­ной CDD₁B в виде суммы длин от­рез­ков CD, DD₁ и D₁B и, учи­ты­вая, что сумма длин этих от­рез­ков равна най­дем длину ребра куба:

Таким об­ра­зом, длина ребра куба равна 9. Мно­го­гран­ник A₁B₁C₁D₁D яв­ля­ет­ся че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­дой, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит квад­рат A₁B₁C₁D₁. Так как ребра куба пер­пен­ди­ку­ляр­ны плос­ко­стям его ос­но­ва­ния, вы­со­той пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся ребро куба DD₁. Най­дем объем мно­го­гран­ни­ка A₁B₁C₁D₁D:

Ответ: 243.