По­сколь­ку тре­уголь­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то в ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Про­ве­дем вы­со­ту DO, где O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. Про­ве­дем вы­со­ту AM, ко­то­рая яв­ля­ет­ся также ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой. Она прой­дет через точку O по свой­ству рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Тогда OM  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах BC пер­пен­ди­ку­ляр­на DM, тогда DM  — вы­со­та бо­ко­вой грани.

По фор­му­ле ра­ди­у­са окруж­но­сти, впи­сан­ной в рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник по­лу­ча­ем, что

Таким об­ра­зом, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис). За­ме­тим, что тре­уголь­ник ASВ  — рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку AS=BS=l. Сле­до­ва­тель­но, вы­со­та SO яв­ля­ет­ся и бис­сек­три­сой. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOS сто­ро­на OB, яв­ля­ю­ща­я­ся вы­со­той ко­ну­са, лежит про­тив угла в 30°, а зна­чит, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са OB в два раза мень­ше длины об­ра­зу­ю­щей, то есть, 3 м. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна

Ответ:

Пи­ра­ми­да SABC  — пра­виль­ная, в ее ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC. Про­ве­дем в этом тре­уголь­ни­ке вы­со­ту AM, тогда, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мые SM и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Угол SMH яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды. Так как бо­ко­вая грань на­кло­не­на к ос­но­ва­нию под углом, рав­ным тан­генс угла SMH равен 3. Имеем:

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC от­ре­зок AM яв­ля­ет­ся вы­со­той и ме­ди­а­ной. Вер­ши­на пи­ра­ми­ды про­еци­ру­ет­ся в центр тре­уголь­ни­ка ABC  — точку H, ко­то­рая яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти и точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, делит ме­ди­а­ну AM на два от­рез­ка в от­но­ше­нии 2 : 1 счи­тая от вер­ши­ны, таким об­ра­зом, AH : HM  =  2 : 1. Тогда длина AM втрое боль­ше длины HM и равна 3 см. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AMB угол ABM равен 60°, сле­до­ва­тель­но, угол BAM равен 30°. Длина ка­те­та BM, ле­жа­ще­го на­про­тив угла, рав­но­го 30°, равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AB. При­мем за x длину BM. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

от­ку­да Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ:

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит квад­рат ABCD. Апо­фе­ма пи­ра­ми­ды SK пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой DC, тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые OK и DC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Угол SKO яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла при ребре ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, его гра­дус­ная мера равна 60°. Тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOK угол OSK равен 30°, длина ка­те­та OK, ле­жа­ще­го на­про­тив угла OSK, равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы SK, то есть 6 см. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра в этом тре­уголь­ни­ке:

Бо­ко­вые ребра пра­виль­ной пи­ра­ми­ды равны, от­сю­да тре­уголь­ник DSC  — рав­но­бед­рен­ный. От­ре­зок SK яв­ля­ет­ся вы­со­той и ме­ди­а­ной, тогда длины от­рез­ков DK и KC равны. От­ре­зок OK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ACD, его длина равна по­ло­ви­не длины сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, от­сю­да длина сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 12 см.

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Бо­ко­вые ребра приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны ее ос­но­ва­нию, а длина вы­со­ты приз­мы равна длине бо­ко­во­го ребра. Точка M  — се­ре­ди­на ребра приз­мы BB₁. По­стро­им се­че­ние приз­мы плос­ко­стью AMD. Пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны, по­это­му по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти пря­мая AD па­рал­лель­на плос­ко­сти BB₁C₁C. Се­ку­щая плос­кость AMD пе­ре­се­ка­ет плос­кость BB₁C₁C по пря­мой, ко­то­рая па­рал­лель­на пря­мой AD. В пря­мо­уголь­ни­ке BB₁C₁C по­стро­им от­ре­зок MN па­рал­лель­ный пря­мой BC, точка N лежит на ребре CC₁. Про­ве­дем от­рез­ки DN и AM и по­лу­чим тра­пе­цию AMND, она яв­ля­ет­ся се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью AMD, по усло­вию пло­щадь этой тра­пе­ции равна 48.

Пря­мые MN и BC па­рал­лель­ны, также как и пря­мые MB и NC. Угол B₁BC яв­ля­ет­ся пря­мым, тогда че­ты­рех­уголь­ник BMNC  — пря­мо­уголь­ник. От­сю­да BC  =  MN  =  4, а также MB  =  CN. В тра­пе­ции ABCD опу­стим вы­со­ту BK, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые AD и MK пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Угол MKB  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, его гра­дус­ная мера рана 60°. Так как от­ре­зок MK  — вы­со­та тра­пе­ции AMND, имеем:

Тре­уголь­ник MBK  — пря­мо­уголь­ный, угол KMB равен 30°, тогда длина ка­те­та BK равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы MK, то есть 4. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Длина ребра BB₁ в два раза боль­ше длины от­рез­ка MB и равна Пло­щадь ос­но­ва­ния призы равна пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD. Най­дем ее:

Най­дем объем приз­мы:

Ответ:

Бо­ко­вые ребра приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны ее ос­но­ва­нию, а длина вы­со­ты приз­мы равна длине бо­ко­во­го ребра. Точка M  — се­ре­ди­на ребра приз­мы BB₁. По­стро­им се­че­ние приз­мы плос­ко­стью AMD. Пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны, по­это­му по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти пря­мая AD па­рал­лель­на плос­ко­сти BB₁C₁C. Се­ку­щая плос­кость AMD пе­ре­се­ка­ет плос­кость BB₁C₁C по пря­мой, ко­то­рая па­рал­лель­на пря­мой AD. В пря­мо­уголь­ни­ке BB₁C₁C по­стро­им от­ре­зок MN па­рал­лель­ный пря­мой BC, точка N лежит на ребре CC₁. Про­ве­дем от­рез­ки DN и AM и по­лу­чим тра­пе­цию AMND, она яв­ля­ет­ся се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью AMD, по усло­вию пло­щадь этой тра­пе­ции равна 45.

Пря­мые MN и BC па­рал­лель­ны, также как и пря­мые MB и NC. Угол B₁BC яв­ля­ет­ся пря­мым, тогда че­ты­рех­уголь­ник BMNC  — пря­мо­уголь­ник. От­сю­да BC  =  MN  =  5, а также MB  =  CN. В тра­пе­ции ABCD опу­стим вы­со­ту BK, по тео­ре­ме трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые AD и MK пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Угол MKB  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, его гра­дус­ная мера рана 60°. Так как от­ре­зок MK  — вы­со­та тра­пе­ции AMND, имеем:

Тре­уголь­ник MBK  — пря­мо­уголь­ный, угол KMB равен 30°, тогда длина ка­те­та BK равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы MK, то есть 3. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Длина ребра BB₁ в два раза боль­ше длины от­рез­ка MB и равна Пло­щадь ос­но­ва­ния призы равна пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD. Най­дем ее:

Най­дем объем приз­мы:

Ответ:

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом ABC. Опу­стим вы­со­ту SO из вер­ши­ны пи­ра­ми­ды, из точки O, ле­жа­щей на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ля­ры OM, ON, OK к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка ABC. При­ме­нив тео­ре­му о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, по­лу­ча­ем, что пря­мые SM, SN и SK со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мым AC, BC и AB. Углы SMO, SNO и SKO яв­ля­ют­ся ли­ней­ны­ми уг­ла­ми дву­гран­ных углов при реб­рах ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, они равны 60°. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SMO, SNO и SKO равны по об­ще­му ка­те­ту и про­ти­во­ле­жа­ще­му остро­му углу. По­лу­ча­ем, что их ка­те­ты OM, ON и OK равны, а зна­чит, точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC и яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти с ра­ди­у­сом r, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Из­вест­но, что длина ги­по­те­ну­зы AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равна 8. При­мем за x длины ка­те­тов тре­уголь­ни­ка. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC:

Тре­уголь­ник SMO  — пря­мо­уголь­ный, Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC  — ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

Тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

Ответ: 48.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом ABC. Опу­стим вы­со­ту SO из вер­ши­ны пи­ра­ми­ды, из точки O, ле­жа­щей на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ля­ры OM, ON, OK к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка ABC. При­ме­нив тео­ре­му о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, по­лу­ча­ем, что пря­мые SM, SN и SK со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мым AC, BC и AB. Углы SMO, SNO и SKO яв­ля­ют­ся ли­ней­ны­ми уг­ла­ми дву­гран­ных углов при реб­рах ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, они равны 45°. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SMO, SNO и SKO равны по об­ще­му ка­те­ту и про­ти­во­ле­жа­ще­му остро­му углу. По­лу­ча­ем, что их ка­те­ты OM, ON и OK равны, а зна­чит, точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC и яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти с ра­ди­у­сом r, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Из­вест­но, что длина ги­по­те­ну­зы AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равна 10. При­мем за x длины ка­те­тов тре­уголь­ни­ка. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC:

Тре­уголь­ник SMO  — пря­мо­уголь­ный, Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC  — ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

Тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

Ответ: