Проведем AH перпендикулярно плоскости Пусть AB = 5x, а AC = 6x. Причем, HC > BH, так как большей проекции соответствует большая наклонная, поэтому Найдём AH по теореме Пифагора, так как треугольники ABH и ACH прямоугольные, то есть:

По смыслу задачи x отрицательным быть не может, поэтому он равен 1. Тогда AB = 5x = 5 · 1 = 5. По теореме Пифагора найдём катет треугольника ABH: ² = 25 − 16 = 9, тогда AH = 3.

Ответ: 3.

Проведем KO перпендикулярно плоскости Пусть MO = x, а OP = 15 − x. Найдём KO по теореме Пифагора, так как треугольники MKO и KOP прямоугольные, то есть:

Тогда MO = x = 5. По теореме Пифагора найдём катет треугольника KMO: KO² = 225 − 25 = 200, тогда

Ответ:

Сечение шара плоскостью — круг. Так как площадь этого круга по условию равна см², то его радиус равен 3 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. Отрезок AO = 4 см, AB (радиус) = 3 см.

По теореме Пифагора OB (радиус шара) = 5 см.

Найдём объём шара по формуле . Имеем:

см³.

Ответ: см³.

Сечение шара плоскостью — круг. Так как длина линии пересечения сферы и секущей плоскостью равна см, то радиус сечения равен см.

По формуле найдём радиус сферы:

.

Значит, см.

В прямоугольном треугольнике AOB отрезок BO = см, AB = см. Тогда по теореме Пифагора

OA² = .

Значит, см, тогда расстояние от центра шара до секущей плоскости равно 1 см.

Ответ: 1 см.

Так как пирамида является правильной, то в ее основании лежит равносторонний треугольник. Тогда найдем его площадь по формуле

Так как H — точка пересечения медиан, то

Найдем AM по формуле высоты равностороннего треугольника: Тогда

Так как , то треугольник AHP — равносторонний прямоугольный. Значит,

Теперь найдем объем пирамиды по формуле

Ответ:.