Из точки А к плоскости а проведены наклонные АВ и АС, длины которых относятся как 5 : 6. Найдите расстояние от точки А до плоскости α, если проекции наклонных на эту плоскость равны 4 и см.
Решение.
Проведем AH перпендикулярно плоскости Пусть AB = 5x, а AC = 6x. Причем, HC > BH, так как большей проекции соответствует большая наклонная, поэтому Найдём AH по теореме Пифагора, так как треугольники ABH и ACH прямоугольные, то есть:
По смыслу задачи x отрицательным быть не может, поэтому он равен 1. Тогда AB = 5x = 5 · 1 = 5. По теореме Пифагора найдём катет треугольника ABH: 2 = 25 − 16 = 9, тогда AH = 3.
Из точки К к плоскости α проведены перпендикуляр KО и наклонные KM и KP. Сумма длин отрезков OM и OP равна 15 см. Найдите расстояние от точки К до плоскости α, если KM = 15 см и см.
Решение.
Проведем KO перпендикулярно плоскости Пусть MO = x, а OP = 15 − x. Найдём KO по теореме Пифагора, так как треугольники MKO и KOP прямоугольные, то есть:
Тогда MO = x = 5. По теореме Пифагора найдём катет треугольника KMO: KO2 = 225 − 25 = 200, тогда
Площадь сферы равна 5π см2. Длина линии пересечения сферы и секущей плоскости равна π см. Найдите расстояние от центра сферы до секущей плоскости.
Решение.
Сечение шара плоскостью — круг. Так как длина линии пересечения сферы и секущей плоскостью равна π см, то радиус сечения равен
По формуле найдём радиус сферы:
Значит,
В прямоугольном треугольнике AOB отрезок Тогда по теореме Пифагора:
Значит, OA = 1 см, тогда расстояние от центра шара до секущей плоскости равно 1 см.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем пирамиды.
Решение.
Так как пирамида является правильной, то в ее основании лежит равносторонний треугольник. Тогда найдем его площадь по формуле
Так как H — точка пересечения медиан, то
Найдем AM по формуле высоты равностороннего треугольника: Тогда
Так как то треугольник AHP — равнобедренный прямоугольный. Значит,