Най­дем ра­ди­ус сферы:

Ответ: б).

Ра­ди­ус огра­ни­чен­но­го этой сфе­рой шара в два раза мень­ше диа­мет­ра, по­это­му

Ответ: в).

Диа­метр огра­ни­чен­но­го этой сфе­рой шара в два раза боль­ше ра­ди­у­са, по­это­му

Ответ: г).

Пусть шар ка­са­ет­ся сто­рон BC, AB и AC в точ­ках M, N, K со­от­вет­ствен­но. Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр OO₁ к плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Ра­ди­у­сы OM, ON и OK пер­пен­ди­ку­ляр­ны к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­рез­ки O₁M, O₁N, O₁K пер­пен­ди­ку­ляр­ны сто­ро­нам BC, AB и AC со­от­вет­ствен­но. За­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки OO₁M, OO₁N и OO₁K равны по об­ще­му ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, зна­чит, По­сколь­ку точка O₁ рав­но­уда­ле­на от сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC, то она яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти.

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC по фор­му­ле Ге­ро­на:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем ра­ди­ус шара, имеем:

Ответ:

Пусть шар ка­са­ет­ся сто­рон BC, AB и AC в точ­ках M, N, K со­от­вет­ствен­но. Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр OO₁ к плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Ра­ди­у­сы OM, ON и OK пер­пен­ди­ку­ляр­ны к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­рез­ки O₁M, O₁N, O₁K пер­пен­ди­ку­ляр­ны сто­ро­нам BC, AB и AC со­от­вет­ствен­но. За­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки OO₁M, OO₁N и OO₁K равны по об­ще­му ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, зна­чит, По­сколь­ку точка O₁ рав­но­уда­ле­на от сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC, то она яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти.

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC по фор­му­ле Ге­ро­на:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем ра­ди­ус шара, имеем:

Ответ: 64π.

Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Так как пло­щадь этого круга по усло­вию равна см², то его ра­ди­ус равен 4 см.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AOB. От­ре­зок AO = 3 см, AB (ра­ди­ус) = 4 см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра OB (ра­ди­ус шара) = 5 см.

Найдём объём шара по фор­му­ле Имеем:

Ответ:

Объём шара вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле По­сколь­ку объем шара из­ве­стен, вы­ра­зим из фор­му­лы его ра­ди­ус:

Ответ:

Объём шара вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле По­сколь­ку объем шара из­ве­стен, вы­ра­зим из фор­му­лы его ра­ди­ус:

Ответ:

За­пи­шем от­но­ше­ние пло­ща­дей по­верх­но­сти двух шаров:

Ответ: 27 : 64.

За­пи­шем от­но­ше­ние объ­е­мов двух шаров:

от­ку­да Най­дем от­но­ше­ние пло­ща­дей их по­верх­но­стей:

Ответ: 4 : 9.

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти По усло­вию:

Тогда Зная, что по­лу­ча­ем:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди шара:

Из усло­вия сле­ду­ет, что тогда:

Ответ:

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ABC— пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, AC  — ги­по­те­ну­за. Се­че­ние шара плос­ко­стью ABC  — окруж­ность. Центр этой окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не ги­по­те­ну­зы AC, то есть По тео­ре­ме о се­че­нии шара плос­ко­стью от­ре­зок OK пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти се­че­ния, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник KOC яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Тогда OC (ра­ди­ус шара) равен

Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна

Ответ: 324π.

Се­че­ни­ем шара плос­ко­стью ABC яв­ля­ет­ся круг с цен­тром O₁. Пи­ра­ми­да OABC  — пра­виль­ная пи­ра­ми­да. Точка O₁  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC. От­ре­зок OO₁  — вы­со­та пи­ра­ми­ды OABC. Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно a, тогда ра­ди­ус AO₁ равен В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AO₁O по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

Ответ:

Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна Если ра­ди­ус шара уве­ли­чить в 3 раза, пло­щадь его по­верх­но­сти равна

Таким об­ра­зом, если уве­ли­чить ра­ди­ус в 3 раза, пло­щадь по­верх­но­сти шара уве­ли­чит­ся в 9 раз.

Ответ: в 9 раз.

Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна Если ра­ди­ус шара умень­шить в 2 раза, пло­щадь его по­верх­но­сти равна

Таким об­ра­зом, если умень­шить ра­ди­ус в 2 раза, пло­щадь по­верх­но­сти шара умень­шит­ся в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

Объем по­лу­чен­но­го шара равен сумме объ­е­мов пер­во­го и вто­ро­го шаров. Най­дем объем пер­во­го шара:

Най­дем объем вто­ро­го шара:

Таким об­ра­зом, объем по­лу­чен­но­го шара равен

Поль­зу­ясь фор­му­лой объ­е­ма шара, най­дем его ра­ди­ус:

Ответ: 3 см.

Объем по­лу­чен­но­го шара равен сумме объ­е­мов пер­во­го и вто­ро­го шаров. Най­дем объем пер­во­го шара:

Най­дем объем вто­ро­го шара:

Таким об­ра­зом, объем по­лу­чен­но­го шара равен

Поль­зу­ясь фор­му­лой объ­е­ма шара, най­дем его ра­ди­ус:

Ответ: 4 см.

Боль­шой окруж­но­стью сферы яв­ля­ет­ся се­че­ние сферы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через центр сферы. Ра­ди­ус боль­шой окруж­но­сти равен ра­ди­у­су сферы. Из усло­вия из­вест­на пло­щадь по­верх­но­сти сферы, най­дем ра­ди­ус:

Тогда длина боль­шой окруж­но­сти сферы:

Ответ:

Боль­шой окруж­но­стью сферы яв­ля­ет­ся се­че­ние сферы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через центр сферы. Ра­ди­ус боль­шой окруж­но­сти равен ра­ди­у­су сферы. Из усло­вия из­вест­на пло­щадь по­верх­но­сти сферы, най­дем ра­ди­ус:

Тогда длина боль­шой окруж­но­сти сферы:

Ответ:

Так как пло­щадь круга равна ра­ди­ус шара равен 3 см.

Ответ: б).