По­сколь­ку про­ек­ция MA на плос­кость ABCD  — пря­мая AB, ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на AD, зна­чит, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая MA пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AD. Сле­до­ва­тель­но, угол BAM  — это ли­ней­ный дву­гран­но­го угла между гра­нью AMD и ос­но­ва­ни­ем, ко­то­рый равен 30°. Ана­ло­гич­но пря­мая MC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC и угол MCB равен 60°.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MBA вы­ра­зим MB:

Таким об­ра­зом, объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ:

По­сколь­ку одно из бо­ко­вых ребер пи­ра­ми­ды пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, то оно яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды, зна­чит, Объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 15 см².

По­сколь­ку одно из бо­ко­вых ребер пи­ра­ми­ды пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, то оно яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды, зна­чит, Объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 14 см².

Ос­но­ва­ние вы­со­ты на­хо­дит­ся в цен­тре впи­сан­ной в тра­пе­цию окруж­но­сти, так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию. Так как тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, а ос­но­ва­ния равны 6 и 8, то бо­ко­вые сто­ро­ны равны 7, так как окруж­ность можно впи­сать толь­ко в ту тра­пе­цию, у ко­то­рой сумма длин ос­но­ва­ний равна сумме длин бо­ко­вых сто­рон. Про­ведём вы­со­ту BF в тра­пе­ции ABCD и найдём её ве­ли­чи­ну: а так как то тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Под­ста­вим и по­лу­чим, что Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен где p  — по­лу­пе­ри­метр, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна Тогда пло­щадь тра­пе­ции равна а объем пи­ра­ми­ды  — 

Таким об­ра­зом, зна­че­ние вы­ра­же­ние равно

Ответ: 56.

Ос­но­ва­ние вы­со­ты на­хо­дит­ся в цен­тре впи­сан­ной в тра­пе­цию окруж­но­сти, так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию. Так как тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, а ос­но­ва­ния равны 6 и 8, то бо­ко­вые сто­ро­ны равны 7, так как окруж­ность можно впи­сать толь­ко в ту тра­пе­цию, у ко­то­рой сумма длин ос­но­ва­ний равна сумме длин бо­ко­вых сто­рон. Про­ведём вы­со­ту BF в тра­пе­ции ABCD и найдём её ве­ли­чи­ну: а так как то тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Под­ста­вим и по­лу­чим, что Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен где p  — по­лу­пе­ри­метр, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна Тогда пло­щадь тра­пе­ции равна а объем пи­ра­ми­ды  — 

Таким об­ра­зом, зна­че­ние вы­ра­же­ние равно

Ответ: 96.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. За­ме­тим, что, так как бо­ко­вые сто­ро­ны на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под одним углом, вы­со­та пи­ра­ми­ды будет па­дать в центр впи­сан­ной окруж­но­сти. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна либо про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти на по­лу­пе­ри­метр, либо, по фор­му­ле Ге­ро­на, где p  — по­лу­пе­ри­метр, в нашем слу­чае

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник SOK рав­но­бед­рен­ный, так как один из его углов равен 45°, тогда ка­те­ты OK и SO, яв­ля­ю­щи­е­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды и ра­ди­у­сом впи­сан­ной окруж­но­сти, равны. Ги­по­те­ну­за SK  — апо­фе­ма пи­ра­ми­ды  — равна част­но­му от де­ле­ния OK на ко­си­нус угла при бо­ко­вой сто­ро­не, то есть Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му. Имеем

Ответ:

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Опу­стим вы­со­ту пи­ра­ми­ды SO, про­ве­дем из точки O от­рез­ки OM, ON и OK, пер­пен­ди­ку­ляр­ные сто­ро­нам ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды AB, AC и BC. Углы SMO, SNO и SKO равны 60° как ли­ней­ные углы углов между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми и ос­но­ва­ни­ем. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SOM, SON, SOK равны по ка­те­ту и остро­му углу, из этого сле­ду­ет ра­вен­ство их ка­те­тов OM, OK и ON, а также ра­вен­ство их ги­по­те­нуз SM, SK, SN. Точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC, а зна­чит, яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти. Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой Ге­ро­на. По­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен

По фор­му­ле Ге­ро­на:

Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка через ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти: Най­дем ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти: В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOM катет OM, длина ко­то­ро­го равна 3, лежит на­про­тив угла MSO, гра­дус­ная мера ко­то­ро­го равна 30°. Сле­до­ва­тель­но, длина ги­по­те­ну­зы SM вдвое боль­ше длины ка­те­та MO и равна 6. Най­дем пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ASB, ASC и BSC:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

Ответ: 96.

Пи­ра­ми­да, име­ю­щая 24 ребра, имеет 12 ребер ос­но­ва­ния и 12 бо­ко­вых ребер, а также имеет 13 вер­шин.

Ответ: в).

Пи­ра­ми­да, име­ю­щая 12 вер­шин, имеет 11 бо­ко­вых ребер и 11 ребер ос­но­ва­ния  — всего 22 ребра.

Ответ: б).

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки DOA, DOB и DOC равны по ка­те­ту и остро­му углу, сле­до­ва­тель­но, их ка­те­ты OA, OB и OC равны. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Ге­ро­на и най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Точка O яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка ABC. Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти:

от­ку­да Так как бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под углом 60°, имеем:

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки DOA, DOB и DOC равны по ка­те­ту и остро­му углу, сле­до­ва­тель­но, их ка­те­ты OA, OB и OC равны. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Ге­ро­на и най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Точка O яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка ABC. Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти:

от­ку­да Так как бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под углом 30°, имеем:

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ:

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом ABC. Опу­стим вы­со­ту SO из вер­ши­ны пи­ра­ми­ды, из точки O, ле­жа­щей на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ля­ры OM, ON, OK к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка ABC. При­ме­нив тео­ре­му о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, по­лу­ча­ем, что пря­мые SM, SN и SK со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мым AC, BC и AB. Углы SMO, SNO и SKO яв­ля­ют­ся ли­ней­ны­ми уг­ла­ми дву­гран­ных углов при реб­рах ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, они равны 60°. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SMO, SNO и SKO равны по об­ще­му ка­те­ту и про­ти­во­ле­жа­ще­му остро­му углу. По­лу­ча­ем, что их ка­те­ты OM, ON и OK равны, а зна­чит, точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC и яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти с ра­ди­у­сом r, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Из­вест­но, что длина ги­по­те­ну­зы AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равна 8. При­мем за x длины ка­те­тов тре­уголь­ни­ка. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC:

Тре­уголь­ник SMO  — пря­мо­уголь­ный, Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC  — ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

Тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

Ответ: 48.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом ABC. Опу­стим вы­со­ту SO из вер­ши­ны пи­ра­ми­ды, из точки O, ле­жа­щей на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ля­ры OM, ON, OK к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка ABC. При­ме­нив тео­ре­му о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, по­лу­ча­ем, что пря­мые SM, SN и SK со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мым AC, BC и AB. Углы SMO, SNO и SKO яв­ля­ют­ся ли­ней­ны­ми уг­ла­ми дву­гран­ных углов при реб­рах ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, они равны 45°. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SMO, SNO и SKO равны по об­ще­му ка­те­ту и про­ти­во­ле­жа­ще­му остро­му углу. По­лу­ча­ем, что их ка­те­ты OM, ON и OK равны, а зна­чит, точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC и яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти с ра­ди­у­сом r, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Из­вест­но, что длина ги­по­те­ну­зы AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равна 10. При­мем за x длины ка­те­тов тре­уголь­ни­ка. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC:

Тре­уголь­ник SMO  — пря­мо­уголь­ный, Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC  — ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

Тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

Ответ: