В ос­но­ва­нии лежит па­рал­ле­ло­грам, найдём его пло­щадь под­ста­вим и по­лу­чим, что По усло­вию DA₁  =  10, а AD  =  6, тогда найдём AA₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Зна­чит, объём па­рал­ле­ли­пи­пе­да

Ответ: 96.

Тре­уголь­ник ASO рав­но­бед­рен­ный, так как SO  — это вы­со­та, OA  — ра­ди­ус ко­ну­са, а по усло­вию они равны. Зна­чит,

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти равна

Ответ:

Тре­уголь­ни­ки AA₁C и BB₁D пря­мо­уголь­ные. Тогда

Пло­щадь ос­но­ва­ния равна

Зна­чит, объем равен

Ответ: 128 см³.

Тре­уголь­ник ASO рав­но­бед­рен­ный, так как SO  — это вы­со­та. Угол A равен 30°, так как про­тив него лежит сто­ро­на, рав­ная по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Зна­чит,

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти равна

Ответ:

Тре­уголь­ни­ки AA₁C и BB₁D пря­мо­уголь­ные. Тогда

Пло­щадь ос­но­ва­ния равна

Зна­чит, объем равен

Ответ:

Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. Так как дан­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то тре­уголь­ник ABC  — пра­виль­ный, а бо­ко­вые грани  — рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки.

Так как точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, то AM  — ме­ди­а­на и вы­со­та по свой­ству рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, пря­мая AM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC. Ана­ло­гич­но, пря­мая PM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC. Таким об­ра­зом,   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми (ABC) и (PBC), так как пря­мая AM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC, пря­мая PM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC, Со­глас­но усло­вию,

Най­дем длину HM:

Най­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды:

По­сколь­ку имеем:

Ответ: 18 см³.

Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. Так как дан­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то тре­уголь­ник ABC  — пра­виль­ный, а бо­ко­вые грани  — рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки.

Так как точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, то AM  — ме­ди­а­на и вы­со­та по свой­ству рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, AM пер­пен­ди­ку­ляр­на к BC. Ана­ло­гич­но, PM пер­пен­ди­ку­ляр­на к BC. Таким об­ра­зом,   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми (ABC) и (PBC), так как AM пер­пен­ди­ку­ляр­на к BC, PM пер­пен­ди­ку­ляр­на к BC,

По усло­вию

Най­дем HM:

Так как тре­уголь­ник ABC  — пра­виль­ный, то AM  =  3HM  =  3 см. Так как AM вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, то най­дем его сто­ро­ну по ней:

По­сколь­ку имеем:

Ответ:

Объём пи­ра­ми­ды вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой где H  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. В тре­уголь­ни­ке POK за­ме­тим, что зна­чит, Сто­ро­на ос­но­ва­ния вдвое боль­ше OK (см. рис.), от­ку­да

Ис­поль­зуя по­лу­чен­ные дан­ные, на­хо­дим объём:

Ответ:

Пусть Бо­ко­вые грани пря­мо­уголь­ной приз­мы  — пря­мо­уголь­ни­ки. Боль­шая диа­го­наль у пря­мо­уголь­ни­ка Так как и AC боль­ше ка­те­тов AB и BC, то как наи­боль­шее рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми приз­мы. Тогда

Вы­со­та приз­мы

На­хо­дим объём приз­мы:

Ответ:

Объём пи­ра­ми­ды вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой где H  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Про­ведём тогда тре­уголь­ник AOM  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, так как по усло­вию, от­ку­да, по тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка, зна­чит, Так как O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти, то Таким об­ра­зом,

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, его пло­щадь вы­ра­жа­ет­ся по фор­му­ле тогда по­лу­ча­ем

Объ­еди­няя все дан­ные, на­хо­дим объём пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Пусть тогда   — мень­шая диа­го­наль. Если то так как наи­боль­шее рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми со­от­вет­ству­ет длине диа­го­на­ли того диа­го­наль­но­го се­че­ния, ко­то­рое про­хо­дит через боль­шую диа­го­наль ос­но­ва­ния.

Так как диа­го­на­ли ромба вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и лежат на бис­сек­три­сах его углов, то из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOB. Тогда:

По­лу­ча­ем пло­щадь ос­но­ва­ния Вы­со­та па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

На­хо­дим объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка B₁BD:

Пусть AD  =  x см, тогда Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABD по­лу­ча­ем от­ку­да x  =  6 см.

Объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да найдём по фор­му­ле:

Ответ: 480 см³.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Ос­но­ва­ние приз­мы  — пра­виль­ный тре­уголь­ник, чья вы­со­та AM, яв­ля­ю­ща­я­ся также ме­ди­а­ной, а зна­чит, и про­ек­ци­ей AM в плос­кость ос­но­ва­ния, равна то есть Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AMA₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём вы­со­ту приз­мы, а затем умно­жим её на пло­щадь ос­но­ва­ния, ко­то­рую найдём по фор­му­ле

Ответ:

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис). Так как две бо­ко­вые грани пер­пен­ди­ку­ляр­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, ребро DB пер­пен­ди­ку­ляр­но к ос­но­ва­нию, а зна­чит, яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. Угол BHD  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и бо­ко­вой гра­нью, он равен В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DBH найдём катет BH:

От­ре­зок BH яв­ля­ет­ся вы­со­той в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC. Найдём сто­ро­ну AC этого тре­уголь­ни­ка и его пло­щадь S:

На­ко­нец, найдём объём V дан­ной пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис). Так как две бо­ко­вые грани пер­пен­ди­ку­ляр­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, ребро DB пер­пен­ди­ку­ляр­но к ос­но­ва­нию, а зна­чит, яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. Угол BHD  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и бо­ко­вой гра­нью, он равен В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DBH найдём катет BH:

От­ре­зок BH яв­ля­ет­ся вы­со­той в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC. Найдём сто­ро­ну AC этого тре­уголь­ни­ка и его пло­щадь S:

На­ко­нец, найдём объём V дан­ной пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Пло­щадь пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ACE равна по­ло­ви­не пло­ща­ди пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке B₁BE ги­по­те­ну­за B₁E  =  12 см, тогда тогда BE  =  6 см, а

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке ABCDEF BE  — боль­шая диа­го­наль, тогда BE  =  2AB, AB  =  3 см. Пло­щадь ABCDEF найдём по фор­му­ле

Тогда то есть За­ме­тим, что Тогда

Ответ: 121,5 см³.

За­ме­тим, что LM  — сред­няя линия тра­пе­ции FCDE. Пусть a  — сто­ро­на пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка , тогда

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁E ги­по­те­ну­за см, угол AEA₁ = 60°, тогда угол AA₁E = 30°, тогда см, а AA₁ = 6 см.

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке AE  — мень­шая диа­го­наль, тогда см.

Тогда

Объём тре­уголь­ной приз­мы найдём по фор­му­ле

Ответ: см³.

Объем пи­ра­ми­ды S₁MNC равен Пло­щадь тре­уголь­ни­ка MNC равна так как тре­уголь­ник MNC по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC по трём углам, S₁O  =  2 · SO. Тогда

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Объём пи­ра­ми­ды вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле В слу­чае пи­ра­ми­ды S₁ABM, вы­со­та равна по­ло­ви­не вы­со­ты пи­ра­ми­ды SABC, а пло­щадь ос­но­ва­ния равна по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния той же пи­ра­ми­ды, так как ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на рав­но­ве­ли­кие части. Тогда объём пи­ра­ми­ды S₁ABM равен чет­вер­ти объёма пи­ра­ми­ды SABC, то есть

Ответ:

Пусть грань PAB пер­пен­ди­ку­ляр­на к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды, тогда AB  — про­ек­ция PA на плос­кость ABC и про­ек­ция PB на плос­кость ABC, Тогда углы PBA и PAB яв­ля­ют­ся ли­ней­ны­ми уг­ла­ми дву­гран­ных углов между плос­ко­стя­ми бо­ко­вой грани PBC и плос­ко­стью ос­но­ва­ния и бо­ко­вой грани PAD и плос­ко­стью ос­но­ва­ния со­от­вет­ствен­но.

Про­ве­дем PH  — вы­со­ту рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка PAB. От­ре­зок PH яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды PABCD, так как как вы­со­та тре­уголь­ни­ка, как сто­ро­ны квад­ра­та, зна­чит, PH пер­пен­ди­ку­ляр­на двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым, тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка PBH най­дем

Най­дем объем пи­ра­ми­ды по фор­му­ле

Ответ: