Пусть грань PAB пер­пен­ди­ку­ляр­на к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды, тогда AB  — про­ек­ция PA на плос­кость ABC и про­ек­ция PB на плос­кость ABC, Тогда углы PBA и PAB яв­ля­ют­ся ли­ней­ны­ми уг­ла­ми дву­гран­ных углов между плос­ко­стя­ми бо­ко­вой грани PBC и плос­ко­стью ос­но­ва­ния и бо­ко­вой грани PAD и плос­ко­стью ос­но­ва­ния со­от­вет­ствен­но.

Про­ве­дем PM  — вы­со­ту рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка PAB. От­ре­зок PM яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды PABCD, так как как вы­со­та тре­уголь­ни­ка, как сто­ро­ны квад­ра­та, зна­чит, PM пер­пен­ди­ку­ляр­на двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым, тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка PBM най­дем

Най­дем объем пи­ра­ми­ды по фор­му­ле

Ответ:

Про­ве­дем вы­со­ту SO, точка O  — центр пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей. В ос­но­ва­нии пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит квад­рат, тогда S_осн = 49 м². Най­дем BD:

Зная объем пи­ра­ми­ды, най­дем вы­со­ту по фор­му­ле

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди диа­го­наль­но­го се­че­ния:

Ответ: м².

Зная, что V_куба = a³, по­лу­ча­ем , что ребро равно см.

Ответ: б

Ос­но­ва­ни­ем пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды  — квад­рат, бо­ко­вые грани  — рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки. Рас­смот­рим тре­уголь­ник DSC  — рав­но­бед­рен­ный. По усло­вию тогда Тогда тре­уголь­ник DSC рав­но­сто­рон­ний, зна­чит,

Про­ве­дем вы­со­ту SO. Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния. Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка COS:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пи­ра­ми­ды:

Ответ:

При­мем за х ребро пер­во­го куба, тогда объем этого куба равен х³. Диа­го­наль вто­ро­го куба равна х, тогда его ребро равно а объем равен Най­дем от­но­ше­ние объ­е­мов:

Ответ:

При­мем за х ребро пер­во­го куба, тогда объем этого куба равен х³. Диа­го­наль грани вто­ро­го куба равна х, тогда его ребро равно а объем равен Най­дем от­но­ше­ние объ­е­мов:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Про­ведём вы­со­ту CN. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACN в нашем слу­чае, AN  =  AD − (AD − BC) : 2, то есть

Те­перь по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CND найдём бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции, ко­то­рая, так как бо­ко­вые грани приз­мы яв­ля­ют­ся квад­ра­та­ми, будет равна вы­со­те приз­мы:

Пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна сумме пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и пло­ща­дей ос­но­ва­ний. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти можно найти, умно­жив вы­со­ту на пе­ри­метр ос­но­ва­ния, тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти равна

Объём приз­мы равен про­из­ве­де­нию вы­со­ты на пло­щадь ос­но­ва­ния, в нашем слу­чае

Ответ:

Пусть ребро куба равно a, тогда пло­щадь одной грани равна a², а пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти  — 6a². Най­дем ребро куба:

Ответ: 125 см³.

Пусть ребро куба равно a, тогда пло­щадь одной грани равна a², а пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти  — 6a². Най­дем ребро куба:

Ответ: 64 см³.

По­сколь­ку пи­ра­ми­да яв­ля­ет­ся пра­виль­ной, то в ее ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Тогда най­дем его пло­щадь по фор­му­ле

По­сколь­ку H  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, то

Най­дем AM по фор­му­ле вы­со­ты рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка:

Так как то тре­уголь­ник AHP  — рав­но­сто­рон­ний пря­мо­уголь­ный. Зна­чит,

Те­перь най­дем объем пи­ра­ми­ды по фор­му­ле

Ответ: 144 см³.

Вы­со­та ос­но­ва­ния сов­па­да­ет с цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния, так как бо­ко­вые ребра рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию. Тра­пе­ция ABCD яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной, так как толь­ко во­круг рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции можно опи­сать окруж­ность, зна­чит, AB  =  CD. От­ре­зок AD яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, по­сколь­ку угол ABD  — пря­мой. Точка O  — центр окруж­но­сти, тогда SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, ко­то­рая лежит на се­ре­ди­не AD.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD опу­стим вы­со­ту BF, тогда

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна

Таким об­ра­зом, зна­че­ние равно

Ответ: 160.

Вы­со­та ос­но­ва­ния сов­па­да­ет с цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния, так как бо­ко­вые ребра рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию. Тра­пе­ция ABCD яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной, так как толь­ко во­круг рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции можно опи­сать окруж­ность, зна­чит, AB  =  CD. От­ре­зок AD яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, по­сколь­ку угол ABD  — пря­мой. Точка O  — центр окруж­но­сти, тогда SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, ко­то­рая лежит на се­ре­ди­не AD.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD опу­стим вы­со­ту BF, тогда

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна

Таким об­ра­зом, зна­че­ние равно

Ответ: 20.

Объем пи­ра­ми­ды  — это где h  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Если дву­гран­ный угол при ребре ос­но­ва­ния равен 45°, угол MNO равен 45°. Зна­чит, тре­уголь­ник MNO рав­но­бед­рен­ный, и ON = MO. Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, в ос­но­ва­нии квад­рат и Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния равна а объем равен

Ответ:

По­сколь­ку про­ек­ция MA на плос­кость ABCD  — пря­мая AB, ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на AD, зна­чит, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая MA пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AD. Сле­до­ва­тель­но, угол BAM  — это ли­ней­ный дву­гран­но­го угла между гра­нью AMD и ос­но­ва­ни­ем, ко­то­рый равен 30°. Ана­ло­гич­но пря­мая MC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC и угол MCB равен 45°.

Тре­уголь­ник CBM  — пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MBA вы­ра­зим AB:

Таким об­ра­зом, объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ:

По­сколь­ку одно из бо­ко­вых ребер пи­ра­ми­ды пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, то оно яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды, зна­чит, Объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 15 см².

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мой па­рал­ле­ле­пи­пед. Ис­ко­мое се­че­ние  — че­ты­рех­уголь­ник AB₁C₁D. Про­ве­дем в ромбе ABCD вы­со­ту BK. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок B₁K пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой AD. Угол B₁KB яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми AB₁D и ABD.

Най­дем пло­щадь ромба ABCD:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KB₁B на­хо­дим

Таким об­ра­зом, объем пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равен

Ответ: 14 400.

По­сколь­ку одно из бо­ко­вых ребер пи­ра­ми­ды пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, то оно яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды, зна­чит, Объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 14 см².

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мой па­рал­ле­ле­пи­пед. Ис­ко­мое се­че­ние  — че­ты­рех­уголь­ник AB₁C₁D. Про­ве­дем в ромбе ABCD вы­со­ту BK. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок B₁K пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой AD. Угол B₁KB яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми AB₁D и ABD. Най­дем пло­щадь ромба ABCD:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KB₁B на­хо­дим

Таким об­ра­зом, объем пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равен

Ответ: 1728.

Фор­му­ла объ­е­ма пи­ра­ми­ды: Если вы­со­ту пи­ра­ми­ды умень­шить в 2 раза, то ее объем умень­шит­ся в 2 раза.

Ответ: б).

Фор­му­ла объ­е­ма пи­ра­ми­ды: Если вы­со­ту пи­ра­ми­ды уве­ли­чить в 3 раза, то ее объем уве­ли­чит­ся в 3 раза.

Ответ: а).