Ос­но­ва­ние вы­со­ты на­хо­дит­ся в цен­тре впи­сан­ной в тра­пе­цию окруж­но­сти, так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию. Так как тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, а ос­но­ва­ния равны 6 и 8, то бо­ко­вые сто­ро­ны равны 7, так как окруж­ность можно впи­сать толь­ко в ту тра­пе­цию, у ко­то­рой сумма длин ос­но­ва­ний равна сумме длин бо­ко­вых сто­рон. Про­ведём вы­со­ту BF в тра­пе­ции ABCD и найдём её ве­ли­чи­ну: а так как то тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Под­ста­вим и по­лу­чим, что Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен где p  — по­лу­пе­ри­метр, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна Тогда пло­щадь тра­пе­ции равна а объем пи­ра­ми­ды  — 

Таким об­ра­зом, зна­че­ние вы­ра­же­ние равно

Ответ: 56.

Ос­но­ва­ние вы­со­ты на­хо­дит­ся в цен­тре впи­сан­ной в тра­пе­цию окруж­но­сти, так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию. Так как тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, а ос­но­ва­ния равны 6 и 8, то бо­ко­вые сто­ро­ны равны 7, так как окруж­ность можно впи­сать толь­ко в ту тра­пе­цию, у ко­то­рой сумма длин ос­но­ва­ний равна сумме длин бо­ко­вых сто­рон. Про­ведём вы­со­ту BF в тра­пе­ции ABCD и найдём её ве­ли­чи­ну: а так как то тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Под­ста­вим и по­лу­чим, что Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен где p  — по­лу­пе­ри­метр, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна Тогда пло­щадь тра­пе­ции равна а объем пи­ра­ми­ды  — 

Таким об­ра­зом, зна­че­ние вы­ра­же­ние равно

Ответ: 96.

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

По­сколь­ку пи­ра­ми­да пра­виль­ная, у неё в ос­но­ва­нии лежит квад­рат ABCD. Вы­со­та SO па­да­ет в центр ABCD. Про­ведём апо­фе­мы SM и SK. По­лу­чи­лось, MK  =  CB  =  10. В тре­уголь­ни­ке MSK вы­со­та MN  — рас­сто­я­ние от сто­ро­ны ос­но­ва­ния до про­ти­во­ле­жа­щей бо­ко­вой грани, она равна

Найдём синус угла MKS:

Зна­чит, угол MKS равен 60°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOK при­мем SO за x. По­сколь­ку катет KO лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SOK имеем:

Таким об­ра­зом, Пло­щадь S ос­но­ва­ния равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, то есть 100. Найдём объём V пи­ра­ми­ды SABCD:

Ответ: 500.

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

По­сколь­ку пи­ра­ми­да пра­виль­ная, у неё в ос­но­ва­нии лежит квад­рат ABCD. Вы­со­та SO па­да­ет в центр ABCD. Про­ведём апо­фе­мы SM и SK. По­лу­чи­лось, MK  =  CB  =  2. В тре­уголь­ни­ке MSK вы­со­та MN  — рас­сто­я­ние от сто­ро­ны ос­но­ва­ния до про­ти­во­ле­жа­щей бо­ко­вой грани, она равна

Найдём синус угла MKS:

Зна­чит, угол MKS равен 60°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOK при­мем SO за x. По­сколь­ку катет KO лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SOK имеем:

Таким об­ра­зом, Пло­щадь S ос­но­ва­ния равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, то есть 4. Найдём объём V пи­ра­ми­ды SABCD:

Ответ: 4.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грамм ABCD, его диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁C угол ACA₁ равен 60°. Вы­со­той па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся ребро AA₁, сле­до­ва­тель­но, его длина равна 8. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁C угол A₁CA равен 45°, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, его ка­те­ты AA₁ и AC равны, их длины равна 8.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BB₁D угол B₁DB равен 60°, угол BB₁D равен 30°. Длина ка­те­та BD, ле­жа­ще­го на­про­тив угла, рав­но­го 30°, равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы B₁D. При­мем за x длину BD, тогда длина B₁D равна 2x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Таким об­ра­зом, Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOB:

По свой­ствам па­рал­ле­ло­грам­ма, диа­го­на­ли раз­би­ва­ют его на че­ты­ре тре­уголь­ни­ка, име­ю­щих рав­ную пло­щадь. Тогда Най­дем объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ:

Ос­но­ва­ни­ем пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грамм ABCD, его диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁C угол ACA₁ равен 30°. Вы­со­той па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся ребро AA₁, сле­до­ва­тель­но, его длина равна 6. Катет AA₁ лежит на­про­тив угла ACA₁, рав­но­го 30°, сле­до­ва­тель­но, длина AA₁ равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы A₁C, тогда A₁C  =  12. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BB₁D угол B₁DB равен 45°, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, длины от­рез­ков BB₁ и BD равны 6. Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOB:

По свой­ствам па­рал­ле­ло­грам­ма, диа­го­на­ли раз­би­ва­ют его на че­ты­ре тре­уголь­ни­ка, име­ю­щих рав­ную пло­щадь. Тогда Най­дем объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ:

Ребро B₁C₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти DD₁C₁C, ребро A₁B₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти AA₁D₁D, угол B₁DC₁ яв­ля­ет­ся углом между пря­мой DB₁ и плос­ко­стью DD₁C₁C, его гра­дус­ная мера равна 30°, а угол A₁DB₁ яв­ля­ет­ся углом между пря­мой DB₁ и плос­ко­стью AA₁D₁D, его гра­дус­ная мера равна 45°. Тре­уголь­ник B₁C₁D  — пря­мо­уголь­ный, угол B₁DC₁ равен 30°, сле­до­ва­тель­но, длина ка­те­та B₁C₁, ле­жа­ще­го на­про­тив угла, гра­дус­ная мера ко­то­ро­го равна 30°, равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы B₁D, то есть По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке B₁A₁D гра­дус­ная мера угла A₁DB₁ равна 45°, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, A₁B₁  =  A₁D. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ребра A₁B₁, AB и DC пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DC₁C:

Най­дем объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ:

Ребро B₁C₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти DD₁C₁C, ребро BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ABCD, угол B₁BD яв­ля­ет­ся углом между пря­мой DB₁ и плос­ко­стью ABCD. Гра­дус­ная мера угла B₁DC₁ равна 30°, а гра­дус­ная мера угла B₁DB равна 45°. Тре­уголь­ник B₁C₁D  — пря­мо­уголь­ный, угол B₁DC₁ равен 30°, сле­до­ва­тель­но, длина ка­те­та B₁C₁, ле­жа­ще­го на­про­тив угла, гра­дус­ная мера ко­то­ро­го равна 30°, равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы B₁D, то есть По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке B₁C₁D:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке B₁BD гра­дус­ная мера угла B₁DB равна 45°, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, B₁B  =  BD. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра в этом тре­уголь­ни­ке:

Так как длины ребер BB₁ и CC₁ равны, при­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DCC₁:

Най­дем объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 4.

Пусть длина ребра куба равна a. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABD:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке B₁BD:

Най­дем объем куба:

Ответ: 125 см³.

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки DOA, DOB и DOC равны по ка­те­ту и остро­му углу, сле­до­ва­тель­но, их ка­те­ты OA, OB и OC равны. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Ге­ро­на и най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Точка O яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка ABC. Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти:

от­ку­да Так как бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под углом 60°, имеем:

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Пусть длина ребра куба равна a. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABD:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке B₁BD:

Най­дем объем куба:

Ответ: 27 см³.

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки DOA, DOB и DOC равны по ка­те­ту и остро­му углу, сле­до­ва­тель­но, их ка­те­ты OA, OB и OC равны. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Ге­ро­на и най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Точка O яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка ABC. Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти:

от­ку­да Так как бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под углом 30°, имеем:

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Пи­ра­ми­да SABC  — пра­виль­ная, в ее ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC. Про­ве­дем в этом тре­уголь­ни­ке вы­со­ту AM, тогда, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мые SM и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Угол SMH яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды. Так как бо­ко­вая грань на­кло­не­на к ос­но­ва­нию под углом, рав­ным тан­генс угла SMH равен 3. Имеем:

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC от­ре­зок AM яв­ля­ет­ся вы­со­той и ме­ди­а­ной. Вер­ши­на пи­ра­ми­ды про­еци­ру­ет­ся в центр тре­уголь­ни­ка ABC  — точку H, ко­то­рая яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти и точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, делит ме­ди­а­ну AM на два от­рез­ка в от­но­ше­нии 2 : 1 счи­тая от вер­ши­ны, таким об­ра­зом, AH : HM  =  2 : 1. Тогда длина AM втрое боль­ше длины HM и равна 3 см. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AMB угол ABM равен 60°, сле­до­ва­тель­но, угол BAM равен 30°. Длина ка­те­та BM, ле­жа­ще­го на­про­тив угла, рав­но­го 30°, равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AB. При­мем за x длину BM. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

от­ку­да Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ:

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит квад­рат ABCD. Апо­фе­ма пи­ра­ми­ды SK пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой DC, тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые OK и DC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Угол SKO яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла при ребре ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, его гра­дус­ная мера равна 60°. Тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOK угол OSK равен 30°, длина ка­те­та OK, ле­жа­ще­го на­про­тив угла OSK, равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы SK, то есть 6 см. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра в этом тре­уголь­ни­ке:

Бо­ко­вые ребра пра­виль­ной пи­ра­ми­ды равны, от­сю­да тре­уголь­ник DSC  — рав­но­бед­рен­ный. От­ре­зок SK яв­ля­ет­ся вы­со­той и ме­ди­а­ной, тогда длины от­рез­ков DK и KC равны. От­ре­зок OK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ACD, его длина равна по­ло­ви­не длины сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, от­сю­да длина сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 12 см.

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Пусть ребро куба равно x, тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти куба от­ку­да x  =  4 см. Объем куба равен

Ответ: 64 см³.

Пусть ребро куба равно x, тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти куба от­ку­да x  =  5 см. Объем куба равен

Ответ: 125 см³.

Па­рал­ле­ло­грамм ABCD лежит в ос­но­ва­нии па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния:

Пе­ри­метр ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен Най­дем вы­со­ту па­рал­ле­ле­пи­пе­да как от­но­ше­ние пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния:

Най­дем объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ:

Па­рал­ле­ло­грамм ABCD лежит в ос­но­ва­нии па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния:

Пе­ри­метр ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен Най­дем вы­со­ту па­рал­ле­ле­пи­пе­да как от­но­ше­ние пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния:

Най­дем объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ:

Бо­ко­вые ребра приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны ее ос­но­ва­нию, а длина вы­со­ты приз­мы равна длине бо­ко­во­го ребра. Точка M  — се­ре­ди­на ребра приз­мы BB₁. По­стро­им се­че­ние приз­мы плос­ко­стью AMD. Пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны, по­это­му по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти пря­мая AD па­рал­лель­на плос­ко­сти BB₁C₁C. Се­ку­щая плос­кость AMD пе­ре­се­ка­ет плос­кость BB₁C₁C по пря­мой, ко­то­рая па­рал­лель­на пря­мой AD. В пря­мо­уголь­ни­ке BB₁C₁C по­стро­им от­ре­зок MN па­рал­лель­ный пря­мой BC, точка N лежит на ребре CC₁. Про­ве­дем от­рез­ки DN и AM и по­лу­чим тра­пе­цию AMND, она яв­ля­ет­ся се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью AMD, по усло­вию пло­щадь этой тра­пе­ции равна 48.

Пря­мые MN и BC па­рал­лель­ны, также как и пря­мые MB и NC. Угол B₁BC яв­ля­ет­ся пря­мым, тогда че­ты­рех­уголь­ник BMNC  — пря­мо­уголь­ник. От­сю­да BC  =  MN  =  4, а также MB  =  CN. В тра­пе­ции ABCD опу­стим вы­со­ту BK, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые AD и MK пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Угол MKB  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, его гра­дус­ная мера рана 60°. Так как от­ре­зок MK  — вы­со­та тра­пе­ции AMND, имеем:

Тре­уголь­ник MBK  — пря­мо­уголь­ный, угол KMB равен 30°, тогда длина ка­те­та BK равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы MK, то есть 4. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Длина ребра BB₁ в два раза боль­ше длины от­рез­ка MB и равна Пло­щадь ос­но­ва­ния призы равна пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD. Най­дем ее:

Най­дем объем приз­мы:

Ответ:

Бо­ко­вые ребра приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны ее ос­но­ва­нию, а длина вы­со­ты приз­мы равна длине бо­ко­во­го ребра. Точка M  — се­ре­ди­на ребра приз­мы BB₁. По­стро­им се­че­ние приз­мы плос­ко­стью AMD. Пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны, по­это­му по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти пря­мая AD па­рал­лель­на плос­ко­сти BB₁C₁C. Се­ку­щая плос­кость AMD пе­ре­се­ка­ет плос­кость BB₁C₁C по пря­мой, ко­то­рая па­рал­лель­на пря­мой AD. В пря­мо­уголь­ни­ке BB₁C₁C по­стро­им от­ре­зок MN па­рал­лель­ный пря­мой BC, точка N лежит на ребре CC₁. Про­ве­дем от­рез­ки DN и AM и по­лу­чим тра­пе­цию AMND, она яв­ля­ет­ся се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью AMD, по усло­вию пло­щадь этой тра­пе­ции равна 45.

Пря­мые MN и BC па­рал­лель­ны, также как и пря­мые MB и NC. Угол B₁BC яв­ля­ет­ся пря­мым, тогда че­ты­рех­уголь­ник BMNC  — пря­мо­уголь­ник. От­сю­да BC  =  MN  =  5, а также MB  =  CN. В тра­пе­ции ABCD опу­стим вы­со­ту BK, по тео­ре­ме трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые AD и MK пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Угол MKB  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, его гра­дус­ная мера рана 60°. Так как от­ре­зок MK  — вы­со­та тра­пе­ции AMND, имеем:

Тре­уголь­ник MBK  — пря­мо­уголь­ный, угол KMB равен 30°, тогда длина ка­те­та BK равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы MK, то есть 3. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Длина ребра BB₁ в два раза боль­ше длины от­рез­ка MB и равна Пло­щадь ос­но­ва­ния призы равна пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD. Най­дем ее:

Най­дем объем приз­мы:

Ответ: