Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна  см. Вы­со­та ко­ну­са равна  см. Ра­ди­ус окруж­но­сти, яв­ля­ю­щей­ся ос­но­ва­ни­ем ко­ну­са равен OB(см. рис.).

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка BOC, най­дем OB: По фор­му­ле объ­е­ма ко­ну­са:

Ответ:

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна  см. Вы­со­та ко­ну­са равна Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна  см. Ра­ди­ус окруж­но­сти, яв­ля­ю­щей­ся ос­но­ва­ни­ем ко­ну­са равен OB(см. рис.). По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка BOC, най­дем CO:

По фор­му­ле объ­е­ма ко­ну­са:

Ответ:

Про­ве­дем вы­со­ту CO. BC = м по усло­вию, OB = r, Зная угол, най­дем OC и OB:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са:

Ответ: м³.

Вы­со­та по усло­вию, CB = L  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, тогда

Тре­уголь­ник COB пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, тогда OB = CO = r = По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем CB:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са:

Ответ: см².

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 1 дм, зна­чит, длина сек­то­ра равна По фор­му­ле длины дуги окруж­но­сти Тре­уголь­ник POC пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Объем ко­ну­са

Ответ:

Длина дуги сек­то­ра по фор­му­ле равна Ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния равен 1 дм, так как длина дуги сек­то­ра и длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равны. Тре­уголь­ник POB пря­мо­уголь­ный, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Объем равен

Ответ:

Тре­уголь­ник ABC  — осе­вое се­че­ние, CO  =  h  — вы­со­та ко­ну­са, OK  =  m  — пер­пен­ди­ку­ляр к об­ра­зу­ю­щей BC.

Пусть Тогда из тре­уголь­ни­ка CKO: Так как угол α ост­рый, по­лу­ча­ем, что:

В тре­уголь­ни­ке OKB:

Объём ко­ну­са найдём по фор­му­ле

Ответ:

Тре­уголь­ник ABC  — осе­вое се­че­ние, CO  — вы­со­та ко­ну­са, OK  =  k  — пер­пен­ди­ку­ляр к об­ра­зу­ю­щей BC.

Пусть Тогда из тре­уголь­ни­ка KOB Так как угол α ост­рый, по­лу­ча­ем, что

В тре­уголь­ни­ке OCB:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти найдём по фор­му­ле

Ответ:

Ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 3 и 4 равна 5 по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, тогда длина об­ра­зу­ю­щей равна 12. Введём обо­зна­че­ния (см. рис). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOC сто­ро­на CO, яв­ля­ю­ща­я­ся вы­со­той ко­ну­са, лежит про­тив угла в 30°, а зна­чит, равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AC, то есть, 6. Катет AO  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния  — по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равен Объём ко­ну­са вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Имеем:

Ответ:

Диа­го­наль квад­ра­та со сто­ро­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна 8. Введём обо­зна­че­ния (см. рис). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOS сто­ро­на SO, яв­ля­ю­ща­я­ся вы­со­той ко­ну­са, лежит про­тив угла в 30°, а зна­чит, длина ги­по­те­ну­зы AS в два раза боль­ше длины этого ка­те­та, то есть, 16. Катет AO  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния  — по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равен Объём ко­ну­са вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Имеем:

Ответ: 512π.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти найдём по фор­му­ле: Имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой б).

Ответ: б).

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти найдём по фор­му­ле: Имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой а).

Ответ: а).

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ASB  — осе­вое се­че­ние ко­ну­са, SO  — вы­со­та ко­ну­са. По усло­вию где M  — се­ре­ди­на об­ра­зу­ю­щей SB.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе, равна ее по­ло­ви­не. По­это­му в тре­уголь­ни­ке SOB имеем: SB  =  2OM  =  24 см. По свой­ству пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков SOB имеем:

Так как ра­ди­ус ос­но­ва­ния R  =  OB  =  12 см, то об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са L  =  SB  =  24 см, то можем найти пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти:

Ответ:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOB:   — вы­со­та, опу­щен­ная на ги­по­те­ну­зу.

Най­дем ра­ди­ус OB из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OKB: Из тре­уголь­ни­ка SOB:

Итак, най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са:

Ответ:

По усло­вию AB = 6 см, AS = 12 см. Угол MON  — 60°, тогда тре­уголь­ник MNS  — се­че­ние. Тре­уголь­ник MON рав­но­сто­рон­ний, так как OM = ON, угол MON = 60°. Зна­чит, MN = 3 см. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка MSN можно найти по фор­му­ле Ге­ро­на:

Ответ:

По фор­му­ле длины окруж­но­сти Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна

По усло­вию угол В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке MON про­ве­дем бис­сек­три­су OK. Сто­ро­на

Осе­вое се­че­ние яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ни­ком, сле­до­ва­тель­но, об­ра­зу­ю­щая

Сто­ро­ны NS и MS равны, по­это­му по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вы­со­та

Тогда пло­щадь се­че­ния равна

Ответ:

По фор­му­ле длины окруж­но­сти най­дем длину окруж­но­сти ос­но­ва­ния:

Ответ:

Длина ра­ди­у­са сек­то­ра равна длине об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са, а длина дуги сек­то­ра равна длине окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са. Длина дуги АК равна ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равен Тре­уголь­ник APB  — осе­вое се­че­ние ко­ну­са. Вы­ра­зим его пе­ри­метр: Так как пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка APB равен 16, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке POB:

Най­дем объем ко­ну­са:

Ответ:

Длина ра­ди­у­са по­лу­кру­га равна длине об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са, а длина по­лу­окруж­но­сти равна длине окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са. Длина дуги AA₁ равна Пра­виль­ный тре­уголь­ник APB  — осе­вое се­че­ние ко­ну­са. Его пло­щадь равна вы­ра­зим ее и най­дем l:

Таким об­ра­зом, r = 3. Най­дем h по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Най­дем объем ко­ну­са:

Ответ: