По­сколь­ку одна сто­ро­на раз­верт­ки бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна вы­со­те, то дру­гая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка равна 3 см. Пло­щадь раз­верт­ки равна пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, то есть равна про­из­ве­де­нию сто­рон пря­мо­уголь­ной раз­верт­ки, а имен­но равна

Ответ: 24 см².

Раз­верт­кой бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник.

Ответ: в).

Осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник.

Ответ: б).

Фор­му­ла объ­е­ма ци­лин­дра: Ци­линдр объ­е­мом может быть по­лу­чен, если ра­ди­ус ци­лин­дра будет равен 3 см, а вы­со­та  — 5 см. Такой ци­линдр может быть по­лу­чен при вра­ще­нии пря­мо­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке в).

Ответ: в).

Фор­му­ла объ­е­ма ци­лин­дра: Ци­линдр объ­е­мом может быть по­лу­чен, если ра­ди­ус ци­лин­дра будет равен 2 см, а вы­со­та  — 6 см. Такой ци­линдр может быть по­лу­чен при вра­ще­нии пря­мо­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке г).

Ответ: г).

Се­че­ни­ем ци­лин­дра плос­ко­стью, па­рал­лель­ной его оси, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник.

Ответ: г).

Пря­мо­уголь­ник AABB₁ яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁B ги­по­те­ну­за A₁B равна 10 см, синус угла A₁BA равен Най­дем длину ка­те­та AA₁:

Таким об­ра­зом, вы­со­та ци­лин­дра равна 6 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁B:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен по­ло­ви­не ка­те­та AB, то есть 4 см. Вы­чис­лим пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра:

Ответ:

Пря­мо­уголь­ник AABB₁ яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁B ги­по­те­ну­за A₁B равна 10 см, синус угла A₁BA равен Най­дем длину ка­те­та AA₁:

Таким об­ра­зом, вы­со­та ци­лин­дра равна 12 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁B:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен по­ло­ви­не ка­те­та AB, то есть 2,5 см. Вы­чис­лим пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра:

Ответ:

Из фор­му­лы пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра по­лу­чим:

Ответ: 14 см².

Осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник, одна из сто­рон ко­то­ро­го равна диа­мет­ру ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а дру­гая  — об­ра­зу­ю­щей ци­лин­дра. Пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра:

Ответ: 6 см².

Объем ци­лин­дра равен объ­е­му шара. Имеем:

Най­дем ра­ди­ус шара:

Ответ:

Объем ци­лин­дра равен объ­е­му шара. Имеем:

Най­дем ра­ди­ус шара:

Ответ:

Со­глас­но усло­вию, пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 250π, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 200π. Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния равна по­лу­раз­но­сти пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра и пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти, то есть 25π. Пло­щадь ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна от­ку­да r  =  5. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна от­ку­да h  =  20. Осью ци­лин­дра яв­ля­ет­ся от­ре­зок O₁O₂, ис­ко­мое се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник ABCD. Плос­кость ABC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­стям ос­но­ва­ний ци­лин­дра. В тре­уголь­ни­ке CO₁B опу­стим вы­со­ту O₁K. Так как плос­кость ABC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра, пря­мая O₁K пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, от­ре­зок O₁K яв­ля­ет­ся рас­сто­я­ни­ем от оси ци­лин­дра до плос­ко­сти се­че­ния. Тре­уголь­ник CO₁B яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, так как его сто­ро­ны CO₁ и O₁B яв­ля­ют­ся ра­ди­у­са­ми одной окруж­но­сти. Про­ве­ден­ная вы­со­та O₁K по свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, таким об­ра­зом, от­рез­ки BK и KC равны. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке O₁KC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

тогда длина BC равна 8. Длины об­ра­зу­ю­щий ци­лин­дра равны его вы­со­те, от­ку­да CD  =  20. Най­дем пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABCD:

Ответ: 160.

Со­глас­но усло­вию, пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 600π, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 400π. Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния равна по­лу­раз­но­сти пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра и пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти, то есть 100π. Пло­щадь ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна от­ку­да r  =  10. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна от­ку­да h  =  20. Осью ци­лин­дра яв­ля­ет­ся от­ре­зок O₁O₂, ис­ко­мое се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник ABCD. Плос­кость ABC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­стям ос­но­ва­ний ци­лин­дра. В тре­уголь­ни­ке CO₁B опу­стим вы­со­ту O₁K. Так как плос­кость ABC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра, пря­мая O₁K пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, от­ре­зок O₁K яв­ля­ет­ся рас­сто­я­ни­ем от оси ци­лин­дра до плос­ко­сти се­че­ния. Тре­уголь­ник CO₁B яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, так как его сто­ро­ны CO₁ и O₁B яв­ля­ют­ся ра­ди­у­са­ми одной окруж­но­сти. Про­ве­ден­ная вы­со­та O₁K по свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, таким об­ра­зом, от­рез­ки BK и KC равны. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке O₁KC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

тогда длина BC равна 16. Длины об­ра­зу­ю­щий ци­лин­дра равны его вы­со­те, от­ку­да CD  =  20. Най­дем пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABCD:

Ответ: 320.

Пусть r₁ и r₂  — ра­ди­у­сы ци­лин­дров, h₁ и h₂  — вы­со­ты ци­лин­дров, V₁ и V₂  — объ­е­мы ци­лин­дров. Тогда по усло­вию спра­вед­ли­во от­но­ше­ние от­ку­да Так как ци­лин­дры имеют рав­ные объ­е­мы, имеем:

Най­дем от­но­ше­ние пло­ща­дей бо­ко­вых по­верх­но­стей ци­лин­дров:

Ответ: 2 : 3.

Пусть r₁ и r₂  — ра­ди­у­сы ци­лин­дров, h₁ и h₂  — вы­со­ты ци­лин­дров, V₁ и V₂  — объ­е­мы ци­лин­дров. Тогда по усло­вию спра­вед­ли­во от­но­ше­ние от­ку­да Так как ци­лин­дры имеют рав­ные объ­е­мы, имеем:

Най­дем от­но­ше­ние пло­ща­дей бо­ко­вых по­верх­но­стей ци­лин­дров:

Ответ: 3 : 2.

Осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD, AD  =  2r, CD  =  h. Из ра­вен­ства CD и AD сле­ду­ет ра­вен­ство h и 2r. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACD:

Так как h  =  2r, r  =  4 см. Вы­чис­лим объем ци­лин­дра:

Ответ:

Осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD, AD  =  2r, CD  =  h. Из ра­вен­ства CD и AD сле­ду­ет ра­вен­ство h и 2r. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACD:

Так как h  =  2r, r  =  3 см. Вы­чис­лим объем ци­лин­дра:

Ответ: