Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна  см. Вы­со­та ко­ну­са равна Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна  см. Ра­ди­ус окруж­но­сти, яв­ля­ю­щей­ся ос­но­ва­ни­ем ко­ну­са равен OB(см. рис.). По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка BOC, най­дем CO:

По фор­му­ле объ­е­ма ко­ну­са:

Ответ:

Про­ве­дем вы­со­ту CO. BC = м по усло­вию, OB = r, Зная угол, най­дем OC и OB:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са:

Ответ: м³.

Вы­со­та по усло­вию, CB = L  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, тогда

Тре­уголь­ник COB пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, тогда OB = CO = r = По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем CB:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са:

Ответ: см².

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 1 дм, зна­чит, длина сек­то­ра равна По фор­му­ле длины дуги окруж­но­сти Тре­уголь­ник POC пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Объем ко­ну­са

Ответ:

Длина дуги сек­то­ра по фор­му­ле равна Ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния равен 1 дм, так как длина дуги сек­то­ра и длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равны. Тре­уголь­ник POB пря­мо­уголь­ный, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Объем равен

Ответ:

Тре­уголь­ник ABC  — осе­вое се­че­ние, CO  =  h  — вы­со­та ко­ну­са, OK  =  m  — пер­пен­ди­ку­ляр к об­ра­зу­ю­щей BC.

Пусть Тогда из тре­уголь­ни­ка CKO: Так как угол α ост­рый, по­лу­ча­ем, что:

В тре­уголь­ни­ке OKB:

Объём ко­ну­са найдём по фор­му­ле

Ответ:

Ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 3 и 4 равна 5 по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, тогда длина об­ра­зу­ю­щей равна 12. Введём обо­зна­че­ния (см. рис). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOC сто­ро­на CO, яв­ля­ю­ща­я­ся вы­со­той ко­ну­са, лежит про­тив угла в 30°, а зна­чит, равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AC, то есть, 6. Катет AO  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния  — по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равен Объём ко­ну­са вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Имеем:

Ответ:

Диа­го­наль квад­ра­та со сто­ро­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна 8. Введём обо­зна­че­ния (см. рис). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOS сто­ро­на SO, яв­ля­ю­ща­я­ся вы­со­той ко­ну­са, лежит про­тив угла в 30°, а зна­чит, длина ги­по­те­ну­зы AS в два раза боль­ше длины этого ка­те­та, то есть, 16. Катет AO  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния  — по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равен Объём ко­ну­са вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Имеем:

Ответ: 512π.

Объём шара вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле по­это­му в нашем слу­чае он равен см³.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой в).

В ре­зуль­та­те вра­ще­ния тре­уголь­ни­ка ABC во­круг сред­ней сто­ро­ны об­ра­зу­ет­ся два ко­ну­са с общим ос­но­ва­ни­ем V = V₁ + V₂. Тогда общий объем на­хо­дит­ся по фор­му­ле:

По фор­му­ле Ге­ро­на имеем:

Най­дем вы­со­ту AH из фор­му­лы пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка:

Тогда объем равен:

Ответ: см³.

Объем по­лу­чен­но­го тела вра­ще­ния равен сумме объ­е­ма ко­ну­са с ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния AH и вы­со­той BH и объ­е­ма ко­ну­са с тем же ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той HC. Тогда общий объем на­хо­дит­ся по фор­му­ле:

По фор­му­ле Ге­ро­на имеем:

Тогда:

Зная, что BC ра­ди­ус, можем найти объем:

Ответ: см³.

По фор­му­ле длины окруж­но­сти Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна

По фор­му­ле длины окруж­но­сти най­дем длину окруж­но­сти ос­но­ва­ния:

Ответ:

Длина ра­ди­у­са сек­то­ра равна длине об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са, а длина дуги сек­то­ра равна длине окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са. Длина дуги АК равна ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равен Тре­уголь­ник APB  — осе­вое се­че­ние ко­ну­са. Вы­ра­зим его пе­ри­метр: Так как пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка APB равен 16, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке POB:

Най­дем объем ко­ну­са:

Ответ:

Длина ра­ди­у­са по­лу­кру­га равна длине об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са, а длина по­лу­окруж­но­сти равна длине окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са. Длина дуги AA₁ равна Пра­виль­ный тре­уголь­ник APB  — осе­вое се­че­ние ко­ну­са. Его пло­щадь равна вы­ра­зим ее и най­дем l:

Таким об­ра­зом, r = 3. Най­дем h по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Най­дем объем ко­ну­са:

Ответ:

В ре­зуль­та­те вра­ще­ния во­круг боль­ше­го ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ет­ся конус. Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). По­сколь­ку в тре­уголь­ни­ке про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на, то От­ре­зок CO  — вы­со­та ко­ну­са, от­ре­зок OB  — ра­ди­ус. Зная угол, най­дем OC и OB:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са:

Ответ:

В ре­зуль­та­те вра­ще­ния во­круг боль­ше­го ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ет­ся конус. Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). По­сколь­ку в тре­уголь­ни­ке про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на, то От­ре­зок CO  — вы­со­та ко­ну­са, от­ре­зок OB  — ра­ди­ус. Зная угол, най­дем OC и OB:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са:

Ответ:

Осе­вое се­че­ние усе­чен­но­го ко­ну­са   — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция AA₁B₁B, в ко­то­рой ос­но­ва­ния яв­ля­ют­ся диа­мет­ра­ми ос­но­ва­ний ко­ну­са, Точки O и O₁  — се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но.

По­сколь­ку пло­щадь верх­не­го ос­но­ва­ния ко­ну­са в 4 раз мень­ше пло­ща­ди ниж­не­го, имеем:

Таким об­ра­зом, объем ко­ну­са равен

Ответ:

Осе­вое се­че­ние усе­чен­но­го ко­ну­са   — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция AA₁B₁B, в ко­то­рой ос­но­ва­ния яв­ля­ют­ся диа­мет­ра­ми ос­но­ва­ний ко­ну­са, Точки O и O₁  — се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но.

По­сколь­ку пло­щадь верх­не­го ос­но­ва­ния ко­ну­са в 9 раз мень­ше пло­ща­ди ниж­не­го, имеем:

Таким об­ра­зом, объем ко­ну­са равен

Ответ: 36π.

Пусть шар ка­са­ет­ся сто­рон BC, AB и AC в точ­ках M, N, K со­от­вет­ствен­но. Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр OO₁ к плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Ра­ди­у­сы OM, ON и OK пер­пен­ди­ку­ляр­ны к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­рез­ки O₁M, O₁N, O₁K пер­пен­ди­ку­ляр­ны сто­ро­нам BC, AB и AC со­от­вет­ствен­но. За­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки OO₁M, OO₁N и OO₁K равны по об­ще­му ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, зна­чит, По­сколь­ку точка O₁ рав­но­уда­ле­на от сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC, то она яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти.

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC по фор­му­ле Ге­ро­на:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем ра­ди­ус шара, имеем:

Ответ: