Пусть шар ка­са­ет­ся сто­рон BC, AB и AC в точ­ках M, N, K со­от­вет­ствен­но. Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр OO₁ к плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Ра­ди­у­сы OM, ON и OK пер­пен­ди­ку­ляр­ны к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­рез­ки O₁M, O₁N, O₁K пер­пен­ди­ку­ляр­ны сто­ро­нам BC, AB и AC со­от­вет­ствен­но. За­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки OO₁M, OO₁N и OO₁K равны по об­ще­му ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, зна­чит, По­сколь­ку точка O₁ рав­но­уда­ле­на от сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC, то она яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти.

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC по фор­му­ле Ге­ро­на:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем ра­ди­ус шара, имеем:

Ответ: 64π.

Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Так как пло­щадь этого круга по усло­вию равна см², то его ра­ди­ус равен 4 см.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AOB. От­ре­зок AO = 3 см, AB (ра­ди­ус) = 4 см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра OB (ра­ди­ус шара) = 5 см.

Найдём объём шара по фор­му­ле Имеем:

Ответ:

Объём шара вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле По­сколь­ку объем шара из­ве­стен, вы­ра­зим из фор­му­лы его ра­ди­ус:

Ответ:

Объём шара вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле По­сколь­ку объем шара из­ве­стен, вы­ра­зим из фор­му­лы его ра­ди­ус:

Ответ:

За­пи­шем от­но­ше­ние пло­ща­дей по­верх­но­сти двух шаров:

Ответ: 27 : 64.

За­пи­шем от­но­ше­ние объ­е­мов двух шаров:

от­ку­да Най­дем от­но­ше­ние пло­ща­дей их по­верх­но­стей:

Ответ: 4 : 9.

Фор­му­ла объ­е­ма ци­лин­дра: Ци­линдр объ­е­мом может быть по­лу­чен, если ра­ди­ус ци­лин­дра будет равен 3 см, а вы­со­та  — 5 см. Такой ци­линдр может быть по­лу­чен при вра­ще­нии пря­мо­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке в).

Ответ: в).

Фор­му­ла объ­е­ма ци­лин­дра: Ци­линдр объ­е­мом может быть по­лу­чен, если ра­ди­ус ци­лин­дра будет равен 2 см, а вы­со­та  — 6 см. Такой ци­линдр может быть по­лу­чен при вра­ще­нии пря­мо­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке г).

Ответ: г).

Се­че­ни­ем шара плос­ко­стью ABC яв­ля­ет­ся круг с цен­тром O₁. Пи­ра­ми­да OABC  — пра­виль­ная пи­ра­ми­да. Точка O₁  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC. От­ре­зок OO₁  — вы­со­та пи­ра­ми­ды OABC. Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно a, тогда ра­ди­ус AO₁ равен В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AO₁O по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

Ответ:

Пря­мо­уголь­ник AABB₁ яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁B ги­по­те­ну­за A₁B равна 10 см, синус угла A₁BA равен Най­дем длину ка­те­та AA₁:

Таким об­ра­зом, вы­со­та ци­лин­дра равна 6 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁B:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен по­ло­ви­не ка­те­та AB, то есть 4 см. Вы­чис­лим пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра:

Ответ:

Пря­мо­уголь­ник AABB₁ яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁B ги­по­те­ну­за A₁B равна 10 см, синус угла A₁BA равен Най­дем длину ка­те­та AA₁:

Таким об­ра­зом, вы­со­та ци­лин­дра равна 12 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁B:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен по­ло­ви­не ка­те­та AB, то есть 2,5 см. Вы­чис­лим пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра:

Ответ:

По­лу­чен­ной фи­гу­рой вра­ще­ния яв­ля­ет­ся ци­линдр, его ра­ди­ус равен сто­ро­не BC пря­мо­уголь­ни­ка и равен а вы­со­та равна сто­ро­не CD пря­мо­уголь­ни­ка и равна 1 см. Най­дем объем ци­лин­дра:

Ответ: 17 см³.

По­лу­чен­ной фи­гу­рой вра­ще­ния яв­ля­ет­ся ци­линдр, его ра­ди­ус равен сто­ро­не BC пря­мо­уголь­ни­ка и равен а вы­со­та равна сто­ро­не CD пря­мо­уголь­ни­ка и равна 1 см. Най­дем объем ци­лин­дра:

Ответ: 2 см³.

Так как пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна сумме пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и пло­ща­ди ос­но­ва­ния, по­лу­ча­ем, что пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 9π см²;. От­сю­да ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 3 см. Най­дем длину об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна от­сю­да l  =  5 см. В тре­уголь­ни­ке AOB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Най­дем объем ко­ну­са:

Так как пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна сумме пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и пло­ща­ди ос­но­ва­ния, по­лу­ча­ем, что пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 16π см². От­сю­да ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 4 см. Най­дем длину об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна от­сю­да l  =  5 см. В тре­уголь­ни­ке AOB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Най­дем объем ко­ну­са:

Ответ: 16π см³.

Объем ци­лин­дра равен объ­е­му шара. Имеем:

Най­дем ра­ди­ус шара:

Ответ:

Объем ци­лин­дра равен объ­е­му шара. Имеем:

Най­дем ра­ди­ус шара:

Ответ:

Объем по­лу­чен­но­го шара равен сумме объ­е­мов пер­во­го и вто­ро­го шаров. Най­дем объем пер­во­го шара:

Най­дем объем вто­ро­го шара:

Таким об­ра­зом, объем по­лу­чен­но­го шара равен

Поль­зу­ясь фор­му­лой объ­е­ма шара, най­дем его ра­ди­ус:

Ответ: 3 см.

Объем по­лу­чен­но­го шара равен сумме объ­е­мов пер­во­го и вто­ро­го шаров. Най­дем объем пер­во­го шара:

Най­дем объем вто­ро­го шара:

Таким об­ра­зом, объем по­лу­чен­но­го шара равен

Поль­зу­ясь фор­му­лой объ­е­ма шара, най­дем его ра­ди­ус:

Ответ: 4 см.

Об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са яв­ля­ет­ся от­ре­зок AB  =  l, его длина равна Вы­со­той ко­ну­са яв­ля­ет­ся от­ре­зок AO  =  h, а ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния ко­ну­са яв­ля­ет­ся от­ре­зок OB  =  r. Тогда угол AOB яв­ля­ет­ся пря­мым, а угол ABO равен 45°. Тре­уголь­ник AOB яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, по­это­му OB  =  AO. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

тогда от­сю­да Най­дем объем ко­ну­са:

Ответ: