Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Ос­но­ва­ние приз­мы  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, чей мень­ший катет BC, ле­жа­щий про­тив угла в 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, то есть 6, а боль­ший катет, яв­ля­ю­щий­ся также про­ек­ци­ей CA₁ в плос­кость ос­но­ва­ния, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равен Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACA₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём вы­со­ту приз­мы, а затем умно­жим её на по­ло­ви­ну пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния:

Ответ:

Бо­ко­вые сто­ро­ны пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ют с ос­но­ва­ни­ем угол в тогда В тре­уголь­ни­ке MPH тогда

Зная сто­ро­ну ос­но­ва­ния и апо­фе­му, най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Бо­ко­вые сто­ро­ны пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ют с ос­но­ва­ни­ем угол в тогда В тре­уголь­ни­ке MPH тогда Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, тогда H  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти в тре­уголь­ник ABC, тогда Зная вы­со­ту ос­но­ва­ния, най­дем сто­ро­ну ос­но­ва­ния через фор­му­лу вы­со­ты:

Зная сто­ро­ну ос­но­ва­ния и апо­фе­му, най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Про­ведём вы­со­ту CN. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACN в нашем слу­чае, AN  =  AD − (AD − BC) : 2, то есть

Те­перь по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CND найдём бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции, ко­то­рая, так как бо­ко­вые грани приз­мы яв­ля­ют­ся квад­ра­та­ми, будет равна вы­со­те приз­мы:

Пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна сумме пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и пло­ща­дей ос­но­ва­ний. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти можно найти, умно­жив вы­со­ту на пе­ри­метр ос­но­ва­ния, тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти равна

Объём приз­мы равен про­из­ве­де­нию вы­со­ты на пло­щадь ос­но­ва­ния, в нашем слу­чае

Ответ:

По тео­ре­ме диа­го­на­ли ромба вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны OС пер­пен­ди­ку­ляр­но BD. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах OC₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но BD, сле­до­ва­тель­но, OC₁  =  5 см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем CC₁ из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OCC₁:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы, зная, что

Ответ: 60 см².

По­сколь­ку одна сто­ро­на раз­верт­ки бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна вы­со­те, то дру­гая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка равна 3 см. Пло­щадь раз­верт­ки равна пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, то есть равна про­из­ве­де­нию сто­рон пря­мо­уголь­ной раз­верт­ки, а имен­но равна

Ответ: 15 см².

По­сколь­ку одна сто­ро­на раз­верт­ки бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна вы­со­те, то дру­гая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка равна 3 см. Пло­щадь раз­верт­ки равна пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, то есть равна про­из­ве­де­нию сто­рон пря­мо­уголь­ной раз­верт­ки, а имен­но равна

Ответ: 24 см².

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­дем вы­со­ту CM, ко­то­рая так же яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах по­лу­ча­ем, что C₁M пер­пен­ди­ку­ляр­но AB, тогда C₁M = 11 см.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник MBC: по усло­вию. Тре­уголь­ник MBC  — рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный, зна­чит, ка­те­ты равны:

Тогда см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка MCC₁, зная, что см, MC₁  =  11 см, най­дем CC₁:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы, зная, что :

Ответ:

Пусть a = 2 см, b = 3 см. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да

Тогда Бо­ко­вое ребро равно 5 см. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 50 см².

По­сколь­ку тре­уголь­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то в ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Про­ве­дем вы­со­ту DO, где O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. Про­ве­дем вы­со­ту AM, ко­то­рая яв­ля­ет­ся также ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой. Она прой­дет через точку O по свой­ству рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Тогда OM  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах BC пер­пен­ди­ку­ляр­на DM, тогда DM  — вы­со­та бо­ко­вой грани.

По фор­му­ле ра­ди­у­са окруж­но­сти, впи­сан­ной в рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник по­лу­ча­ем, что

Таким об­ра­зом, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

Ответ:

По­сколь­ку тре­уголь­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то в ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Про­ве­дем вы­со­ту DO, где O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. Про­ве­дем вы­со­ту AM, ко­то­рая яв­ля­ет­ся также ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой. Она прой­дет через точку O по свой­ству рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Тогда OM  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах BC пер­пен­ди­ку­ляр­на DM, тогда DM  — вы­со­та бо­ко­вой грани.

По фор­му­ле ра­ди­у­са окруж­но­сти, впи­сан­ной в рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник по­лу­ча­ем, что

Таким об­ра­зом, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOS сто­ро­на OB, яв­ля­ю­ща­я­ся вы­со­той ко­ну­са, лежит про­тив угла в 30°, а зна­чит, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са OB в два раза мень­ше длины об­ра­зу­ю­щей, то есть, 6 м. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна

Ответ: 108π.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. За­ме­тим, что, так как бо­ко­вые сто­ро­ны на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под одним углом, вы­со­та пи­ра­ми­ды будет па­дать в центр впи­сан­ной окруж­но­сти. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна либо про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти на по­лу­пе­ри­метр, либо, по фор­му­ле Ге­ро­на, где p  — по­лу­пе­ри­метр, в нашем слу­чае

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник SOK рав­но­бед­рен­ный, так как один из его углов равен 45°, тогда ка­те­ты OK и SO, яв­ля­ю­щи­е­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды и ра­ди­у­сом впи­сан­ной окруж­но­сти, равны. Ги­по­те­ну­за SK  — апо­фе­ма пи­ра­ми­ды  — равна част­но­му от де­ле­ния OK на ко­си­нус угла при бо­ко­вой сто­ро­не, то есть Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му. Имеем

Ответ:

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Опу­стим вы­со­ту пи­ра­ми­ды SO, про­ве­дем из точки O от­рез­ки OM, ON и OK, пер­пен­ди­ку­ляр­ные сто­ро­нам ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды AB, AC и BC. Углы SMO, SNO и SKO равны 60° как ли­ней­ные углы углов между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми и ос­но­ва­ни­ем. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SOM, SON, SOK равны по ка­те­ту и остро­му углу, из этого сле­ду­ет ра­вен­ство их ка­те­тов OM, OK и ON, а также ра­вен­ство их ги­по­те­нуз SM, SK, SN. Точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC, а зна­чит, яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти. Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой Ге­ро­на. По­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен

По фор­му­ле Ге­ро­на:

Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка через ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти: Най­дем ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти: В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOM катет OM, длина ко­то­ро­го равна 3, лежит на­про­тив угла MSO, гра­дус­ная мера ко­то­ро­го равна 30°. Сле­до­ва­тель­но, длина ги­по­те­ну­зы SM вдвое боль­ше длины ка­те­та MO и равна 6. Най­дем пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ASB, ASC и BSC:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

Ответ: 96.

Пусть ребро куба равно x, тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти куба от­ку­да x  =  4 см. Объем куба равен

Ответ: 64 см³.

Пусть ребро куба равно x, тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти куба от­ку­да x  =  5 см. Объем куба равен

Ответ: 125 см³.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом ABC. Опу­стим вы­со­ту SO из вер­ши­ны пи­ра­ми­ды, из точки O, ле­жа­щей на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ля­ры OM, ON, OK к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка ABC. При­ме­нив тео­ре­му о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, по­лу­ча­ем, что пря­мые SM, SN и SK со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мым AC, BC и AB. Углы SMO, SNO и SKO яв­ля­ют­ся ли­ней­ны­ми уг­ла­ми дву­гран­ных углов при реб­рах ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, они равны 60°. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SMO, SNO и SKO равны по об­ще­му ка­те­ту и про­ти­во­ле­жа­ще­му остро­му углу. По­лу­ча­ем, что их ка­те­ты OM, ON и OK равны, а зна­чит, точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC и яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти с ра­ди­у­сом r, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Из­вест­но, что длина ги­по­те­ну­зы AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равна 8. При­мем за x длины ка­те­тов тре­уголь­ни­ка. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC:

Тре­уголь­ник SMO  — пря­мо­уголь­ный, Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC  — ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

Тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

Ответ: 48.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом ABC. Опу­стим вы­со­ту SO из вер­ши­ны пи­ра­ми­ды, из точки O, ле­жа­щей на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ля­ры OM, ON, OK к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка ABC. При­ме­нив тео­ре­му о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, по­лу­ча­ем, что пря­мые SM, SN и SK со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мым AC, BC и AB. Углы SMO, SNO и SKO яв­ля­ют­ся ли­ней­ны­ми уг­ла­ми дву­гран­ных углов при реб­рах ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, они равны 45°. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SMO, SNO и SKO равны по об­ще­му ка­те­ту и про­ти­во­ле­жа­ще­му остро­му углу. По­лу­ча­ем, что их ка­те­ты OM, ON и OK равны, а зна­чит, точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC и яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти с ра­ди­у­сом r, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Из­вест­но, что длина ги­по­те­ну­зы AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равна 10. При­мем за x длины ка­те­тов тре­уголь­ни­ка. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC:

Тре­уголь­ник SMO  — пря­мо­уголь­ный, Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC  — ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

Тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

Ответ: