Най­дем ра­ди­ус сферы:

Ответ: б).

Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. По­сколь­ку пло­щадь се­че­ния шара плос­ко­стью равна 80π см², то ра­ди­ус се­че­ния равен

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOB от­ре­зок Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Най­дем пло­щадь шара:

Ответ:

По усло­вию об­ра­зу­ю­щая в 3 раза боль­ше ра­ди­у­са ос­но­ва­ния, зна­чит, Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна

Ответ: 75π см².

По усло­вию об­ра­зу­ю­щая в 2 раза боль­ше ра­ди­у­са ос­но­ва­ния, зна­чит, Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна

Ответ: 32π см².

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти По усло­вию:

Тогда Зная, что по­лу­ча­ем:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди шара:

Из усло­вия сле­ду­ет, что тогда:

Ответ:

При­мем длину об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са за тогда ра­ди­ус сек­то­ра также равен На­хо­дим длину дуги сек­то­ра

Вы­чис­лим объем ко­ну­са, ис­поль­зуя все име­ю­щи­е­ся дан­ные:

Ответ: 16π.

При­мем длину об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са за тогда ра­ди­ус сек­то­ра также равен На­хо­дим длину дуги сек­то­ра

Вы­чис­лим объем ко­ну­са, ис­поль­зуя все име­ю­щи­е­ся дан­ные:

Ответ: 4π.

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ABC— пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, AC  — ги­по­те­ну­за. Се­че­ние шара плос­ко­стью ABC  — окруж­ность. Центр этой окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не ги­по­те­ну­зы AC, то есть По тео­ре­ме о се­че­нии шара плос­ко­стью от­ре­зок OK пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти се­че­ния, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник KOC яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Тогда OC (ра­ди­ус шара) равен

Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна

Ответ: 324π.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис). За­ме­тим, что тре­уголь­ник ASВ  — рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку AS=BS=l. Сле­до­ва­тель­но, вы­со­та SO яв­ля­ет­ся и бис­сек­три­сой. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOS сто­ро­на OB, яв­ля­ю­ща­я­ся вы­со­той ко­ну­са, лежит про­тив угла в 30°, а зна­чит, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са OB в два раза мень­ше длины об­ра­зу­ю­щей, то есть, 3 м. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна

Ответ:

Осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник, одна из сто­рон ко­то­ро­го равна диа­мет­ру ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а дру­гая  — об­ра­зу­ю­щей ци­лин­дра. Пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра:

Ответ: 6 см².

Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна Если ра­ди­ус шара уве­ли­чить в 3 раза, пло­щадь его по­верх­но­сти равна

Таким об­ра­зом, если уве­ли­чить ра­ди­ус в 3 раза, пло­щадь по­верх­но­сти шара уве­ли­чит­ся в 9 раз.

Ответ: в 9 раз.

Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна Если ра­ди­ус шара умень­шить в 2 раза, пло­щадь его по­верх­но­сти равна

Таким об­ра­зом, если умень­шить ра­ди­ус в 2 раза, пло­щадь по­верх­но­сти шара умень­шит­ся в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

Так как пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна сумме пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и пло­ща­ди ос­но­ва­ния, по­лу­ча­ем, что пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 9π см²;. От­сю­да ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 3 см. Най­дем длину об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна от­сю­да l  =  5 см. В тре­уголь­ни­ке AOB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Най­дем объем ко­ну­са:

Так как пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна сумме пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и пло­ща­ди ос­но­ва­ния, по­лу­ча­ем, что пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 16π см². От­сю­да ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 4 см. Най­дем длину об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна от­сю­да l  =  5 см. В тре­уголь­ни­ке AOB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Най­дем объем ко­ну­са:

Ответ: 16π см³.

Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC, сто­ро­ны ко­то­ро­го равны 8 см. Пусть h  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка, r  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са. Длина об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са равна длине сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC. От­ре­зок AB  — диа­метр ко­ну­са, его длина равна 2r, от­ку­да r  =  4 см. Най­дем пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са:

Ответ:

Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC, сто­ро­ны ко­то­ро­го равны 6 см. Пусть h  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка, r  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са. Длина об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са равна длине сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC. От­ре­зок AB  — диа­метр ко­ну­са, его длина равна 2r, от­ку­да r  =  3 см. Най­дем пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са:

Ответ:

Пусть r₁ и r₂  — ра­ди­у­сы ци­лин­дров, h₁ и h₂  — вы­со­ты ци­лин­дров, V₁ и V₂  — объ­е­мы ци­лин­дров. Тогда по усло­вию спра­вед­ли­во от­но­ше­ние от­ку­да Так как ци­лин­дры имеют рав­ные объ­е­мы, имеем:

Най­дем от­но­ше­ние пло­ща­дей бо­ко­вых по­верх­но­стей ци­лин­дров:

Ответ: 2 : 3.

Пусть r₁ и r₂  — ра­ди­у­сы ци­лин­дров, h₁ и h₂  — вы­со­ты ци­лин­дров, V₁ и V₂  — объ­е­мы ци­лин­дров. Тогда по усло­вию спра­вед­ли­во от­но­ше­ние от­ку­да Так как ци­лин­дры имеют рав­ные объ­е­мы, имеем:

Най­дем от­но­ше­ние пло­ща­дей бо­ко­вых по­верх­но­стей ци­лин­дров:

Ответ: 3 : 2.

Боль­шой окруж­но­стью сферы яв­ля­ет­ся се­че­ние сферы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через центр сферы. Ра­ди­ус боль­шой окруж­но­сти равен ра­ди­у­су сферы. Из усло­вия из­вест­на пло­щадь по­верх­но­сти сферы, най­дем ра­ди­ус:

Тогда длина боль­шой окруж­но­сти сферы:

Ответ:

Боль­шой окруж­но­стью сферы яв­ля­ет­ся се­че­ние сферы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через центр сферы. Ра­ди­ус боль­шой окруж­но­сти равен ра­ди­у­су сферы. Из усло­вия из­вест­на пло­щадь по­верх­но­сти сферы, най­дем ра­ди­ус:

Тогда длина боль­шой окруж­но­сти сферы:

Ответ: