PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
тогда 
причём t > 0, имеем:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
тогда 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: {2,5}.
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
тогда 
Имеем:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: {624}.
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
тогда 
Имеем:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите неравенство 
и найдите сумму его целых отрицательных решений.
Решение. Представим единицу как 
Тогда неравенство имеет следующий вид: 
Так как 6 больше 1, решением этого неравенства является решение неравенства 
Решим его: 
Используя метод интервалов, получаем, что 
Тогда: 
Сумма целых отрицательных решений равна 
Ответ: 
Решите неравенство 
и найдите произведение наибольшего отрицательного и наибольшего положительного решений данного неравенства.
Решение. Представим единицу как 
Тогда неравенство преобритает следующий вид: 
Так как 5 больше 1, решением этого неравенства является решение неравенства 
Используя метод интервалов, получаем, что 
Тогда произведение наибольшего отрицательного и наибольшего положительного решений неравенства равно 
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, не забыв записать условия:
Ответ: 10.
Решите уравнение: 
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, не забыв записать условия:
Ответ: 9.
Решите уравнение: 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 4.
Решите уравнение: 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 2.
Решите уравнение: 
Решение. Вычислим:
Ответ: {−7; 8}.
Решите уравнение: 
Решение. Вычислим:
Ответ: { − 6; 7}
Решите неравенство: 
Решение. Вынесем общий множитель и решим полученное неравенство методом интервалов:
Так так 3 x − 1 > 0 при любых x, то на него можно разделить обе части неравенства:
Ответ: 
Решите неравенство: 
Решение. Вынесем общий множитель и решим полученное неравенство методом интервалов:
Так так 5 x − 2 > 0 при любых x, то на него можно разделить обе части неравенства:
Ответ: (−27; 23).
Решите неравенство: 
Решение. Представим обе части неравенства в виде логарифмов, при более поздних преобразованиях не забудем поменять знак на противоположный — основание логарифма меньше единицы:
Отдельно рассмотрим ОДЗ и полученный ответ:
Ответ: 
Решите неравенство: 
Решение. Представим обе части неравенства в виде логарифмов, при более поздних преобразованиях не забудем поменять знак на противоположный — основание логарифма меньше единицы:
Отдельно рассмотрим ОДЗ и полученный ответ:
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Используя свойства логарифмов 
и 
получаем
Полученное уравнение является квадратным относительно логарифма. Заметим, что разность коэффициентов равна 0, а значит, один из корней равен −1, а другой, по теореме, обратной теореме Виета, равен отношению −c к a, в нашем случае — 
Тогда
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Используя свойства логарифмов и получаем
Полученное уравнение является квадратным относительно логарифма. Заметим, что сумма коэффициентов равна 0, а значит, один из корней равен 1, а другой, по теореме, обратной теореме Виета, равен отношению c к a, в нашем случае — 
Тогда
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: {3}.
Решите уравнение: 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: {−4}.
Решите уравнение: 
Решение. Представим правую часть уравнения в виде логарифма по основанию 3, не забудем об ОДЗ:
Введём замену. Пусть 
Тогда:
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Представим правую часть уравнения в виде логарифма по основанию 2, не забудем об ОДЗ:
Введём замену. Пусть 
Тогда:
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
Ответ: 
Найдите наибольшее целое значение x, удовлетворяющее неравенству: 
Решение. Преобразуем, используя свойства логарифма:
Так как основание десятичного логарифма больше единицы, емеем:
Поэтому число 1 — наибольшее целое значение, при котором выполнено неравенство.
Ответ: 1.
Найдите наименьшее целое значение x, удовлетворяющее неравенству: 
Решение. Преобразуем, используя свойства логарифмов:
Так как основание десятичного логарифма больше единицы, емеем:
Поэтому число 2 — наименьшее целое значение, при котором выполнено неравенство.
Ответ: 2.
Решите уравнение: 
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Ответ: {1}.
Решите уравнение: 
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Ответ:
Решите уравнение: 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Если 
a 
Если 
a 
В случаях, где 
и 
имею отличные от 0 и 1 значения: 
так как, если 
а по основному тригонометрическому тождеству 
Исходя из следующего рассуждения, при отличных от 0 и 1 и решений нет.
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Домножим обе части на 
Ответ: {
}
}}Решите неравенство: 
Решение. Пусть 
тогда:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите неравенство: 
Решение. Выполним преобразования:
Пусть 
тогда 
Имеем:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Используем свойство логарифма:
Ответ: (0,001; 1000).
Решите уравнение: 
Решение. Используем свойство логарифма:
Ответ: (0,01;100).
Решите уравнение: 
Решение. Рассмотрим два случая, когда каждый из множителей равен 0, не забыв при этом про условие на подкорневое выражение:
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Рассмотрим два случая, когда каждый из множителей равен 0, не забыв при этом про условие на подкорневое выражение:
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Снимем корень и раскроем модуль:
Ответ: −2.
Найдите область определения функции 
Решение. Снимем корень и раскроем модуль:
Ответ: −5.
Найдите значение выражения 
Решение. Преобразуем выражение, используя формулы приведения и тангенса суммы углов:
Ответ: 1.
Найдите значение выражения 
Решение. Преобразуем выражение, используя формулы приведения и тангенса суммы углов:
Ответ: 
Сколько простых чисел содержит область определения функции 
?
Решение. Найдем область определения функции:
Простые числа в данной области — 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Ответ: шесть.
Сколько простых чисел содержит область определения функции 
?
Решение. Найдем область определения функции:
Простые числа в данной области — 
Ответ: Семь.
Решите неравенство 
Решение. Заметим, что
то
Решим полученную систему методом интервалов. Имеем: 
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Так как
то
Решим полученную систему методом интервалов. Имеем: 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Выполним равносильные пробразования:
Ответ: 2.
Решите уравнение 
Решение. Выполним равносильные пробразования:
Ответ: {0; 1}.
Найдите область определения функции 
Решение. Область определения данной функции совпадает с ОДЗ подкоренного выражения, поэтому область допустимых значений совпадает с решением неравенства: 
Тогда:
Ответ:
Найдите область определения функции 
Решение. Область определения данной функции совпадает с ОДЗ подкоренного выражения, поэтому область допустимых значений совпадает с решением неравенства:
Тогда: 
Ответ:
Решите неравенство 
Решение. Упростим:
Так как 5 > 1, то:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Упростим:
Так как 2 > 1, то:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся свойством логарифма:
Ответ: ( 4; 9 ).
Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся свойством логарифма:
При проверке становится ясно, что оба корня — решения.
Ответ: (3; 11).
Решите уравнение 
Решение. Упростим:
Ответ: {−2; 3}.
Решите уравнение 
Решение. Упростим:
Ответ: {−1; 2}.
Решите уравнение 
и укажите те из его решений x, которые удовлетворяют неравенству 
Решение. Заметим, что 
не является решением уравнения, так как при 
где k — целое число, 
Тогда на косинус можно разделить, получив 
а 
Решением неравенства является интервал 
тогда из полученных решений нам подходит только число 
так как все остальные решения либо больше 3 (при 
), либо меньше 0 (при 
).
Ответ: 
Решите уравнение 
и укажите те из его решений x, которые удовлетворяют неравенству 
Решение. Заметим, что не является решением уравнения, так как при 
где k — целое число, Тогда на косинус можно разделить, получив 
а 
Решением неравенства является интервал 
тогда из полученных решений нам подходит только число 
так как все остальные решения либо больше 3 (при ), либо меньше 0 (при ).
Ответ: 
Решите уравнение 
где 
Решение. Преобразуем выражения:
Теперь решим уравнение:
Ответ: {1}.
Решите уравнение 
где 
Решение. Преобразуем выражения:
Теперь решим уравнение:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Так как, 
умножим обе части неравенства на 5x:
Пусть 5x = t, тогда 
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Так как, 
умножим обе части неравенства на 4x:\
Пусть 4x = t, тогда 
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Найдите a и b в записи формулы функции 
если известно, что график функции проходит через точки 
Постойте этот график.
Решение. Так как график проходит через точки, координаты которых нам известны, то мы можем составить систему уравнений:
Тогда функция задается уравнением 
ее график получаем сдвигом графика 
на одну единицу вверх (см. рис.).
Найдите a и b в записи формулы функции 
если известно, что график функции проходит через точки 
Постойте этот график.
Решение. Так как график проходит через точки, координаты которых нам известны, то мы можем составить систему уравнений:
Тогда функция задается уравнением 
ее график получаем сдвигом графика на одну единицу вправо (см. рис.).
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
Решение. Приравняем:
Проверка показывает, что −2 — посторонний корень. Таким образом, графики функций и 
пересекаются в точке с абсциссой 6.
Ответ: 6.
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
Решение. Приравняем:
Проверка показывает, что −3 — посторонний корень. Таким образом, графики функций и 
пересекаются в точке с абсциссой 5.
Ответ: 5.
Решите уравнение 
и найдите все его корни, расположенные на промежутке от 0° до 180°. Ответ дайте в градусах.
Решение. Вычислим:
Найдем корни на промежутке от 0° до 180° для 
Найдем корни на промежутке от 0° до 180° для 
Ответ: 105°; 165°.
Решите уравнение 
и найдите все его корни, расположенные на промежутке от -360° до 0°. Ответ дайте в градусах.
Решение. Вычислим:
Найдем корни на промежутке от −360° до 0° для 
Найдем корни на промежутке от −360° до 0° для 
Ответ: −240°.
Упростите выражение 
Решение. Произведем преобразования:
Ответ:
Упростите выражение 
Решение. Упростим:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Разделим обе части уравнения на 25х. Получаем:
Пусть 
Тогда:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 1.
Решите уравнение: 
Решение. Разделим обе части уравнения на 9х. Получаем:
Пусть 
Тогда:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 1.
Функция задана формулой 
Решите неравенство 
Решение. Найдем производную заданной функции:
Ответ: [−1; 2].
Функция задана формулой 
Решите неравенство 
Решение. Найдем производную заданной функции:
Ответ: (−3; 1).
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
тогда 
Имеем:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 622.
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
тогда 
Имеем:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 254.
Найдите точки графика функции 
в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.
Решение. Поскольку то 
Решим уравнение 
Таким образом, касательная к графику функции 
параллельна оси абсцисс в точке с координатами (2; 8).
Ответ: (2; 8).
Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб, 
Расстояние от вершины C1 до прямой BD равно 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение. По теореме диагонали ромба взаимно перпендикулярны OС перпендикулярно BD. Тогда по теореме о трех перпендикулярах OC1 перпендикулярно BD, следовательно, OC1 = 5 см.
По теореме Пифагора найдем CC1 из прямоугольного треугольника OCC1:
Найдем площадь боковой поверхности призмы, зная, что 
Ответ: 60 см2.
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: −4.
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 1.
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 4.
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 3.
Найдите все корни уравнения 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 0.
Найдите нули функции 
Решение. Решим уравнение 
Ответ: 
Найдите нули функции 
Решение. Решим уравнение
Ответ: 
Найдите все решения неравенства 
Решение. Пусть 
тогда
Ответ: 
Найдите все решения неравенства 
Решение. Пусть 
тогда
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Решим неравенство:
тогда
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
тогда
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
тогда
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 3.
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: {−4}.
Решите систему уравнений 
Решение. Решим систему уравнений:
Ответ: (16; 5).
Решите систему уравнений 
Решение. Решим систему уравнений:
Ответ: (16; 27).
Решите неравенство 
Решение. Пусть 
тогда
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Пусть 
тогда
Ответ: 
Составьте уравнение касательной к графику функции 
параллельной прямой 
Решение. Касательная к заданной функции параллельная графику функции 
а значит, их угловые коэффициенты равны. Приравняем правые части данной функции и уравнения касательной с параметром b. Получаем
Касательная пересекает график функции лишь единожды, тогда дискриминант полученного уравнения должен быть равен 0, а b, соответственно, −1. Таким образом, 
—
Ответ: 
Составьте уравнение касательной к графику функции 
параллельной прямой 
Решение. Касательная к заданной функции параллельная графику функции 
а значит, их угловые коэффициенты равны. Приравняем правые части данной функции и уравнения касательной с параметром b. Получаем
Касательная пересекает график функции лишь единожды, тогда дискриминант полученного уравнения должен быть равен 0, а b, соответственно, −1. Таким образом, 
—
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
тогда
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
тогда
Ответ: 
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции 
на отрезке 
Решение. Данная функция определена при всех действительных значениях x. Возьмем производную этой функции:
получим:
и 
Найдем наименьшее и наибольшее значения функции:
Таким образом, наименьшее значение функции равно 0 в точке 
и наибольшее значение равно 32 в точке
Ответ: 
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции 
на отрезке 
Решение. Данная функция определена при всех действительных значениях x. Возьмем производную этой функции:
получим:
Найдем наименьшее и наибольшее значения функции:
Таким образом, наименьшее значение функции равно −3 в точке 
и наибольшее значение равно 5 в точке
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Область определения данной функции задается неравенством:
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Решим неравенство 
Пусть 
Тогда:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 
Найдите все корни уравнения 
Решение. Последовательно получаем:
Ответ: 0,001; 1000.
Найдите все корни уравнения 
Решение. Последовательно получаем:
Ответ: 0,01; 100.
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Решение. Функция f(x) определена на промежутке 
Найдем ее производную:
Найдем нули производной:
Точка x = 1 является точкой экстремума. Найдем значение функции в крайних точках отрезка 
и точке экстремума:
Наименьшее значение функция f(x) принимает в точке x = 1, оно равно −1.
Ответ: −1.
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Решение. Функция f(x) определена на промежутке Найдем ее производную:
Найдем нули производной:
Точка x = 1 является точкой экстремума. Найдем значение функции в крайних точках отрезка 
и точке экстремума:
Наименьшее значение функция f(x) принимает в точке x = 1, оно равно −8.
Ответ: −8.
Равнобедренные треугольники ABC и BDC, каждый из которых имеет основание BC, не лежат в одной плоскости. Их высоты, проведенные к основанию, равны 5 см и 8 см соответственно, а расстояние между точками A и D равно 7 см. Найдите градусную меру угла между плоскостями ABC и BDC.
Решение. Опустим высоту AM в треугольнике ABC. По свойствам равнобедренного треугольника его высота является медианой, поэтому точка M является серединой отрезка BC. Тогда в равнобедренном треугольнике BDC отрезок DM является медианой и высотой, прямые DM и BC перпендикулярны. Угол AMD является линейным углом двугранного угла ABCD. По теореме косинусов в треугольнике AMD:
Так как косинус угла AMD равен 
угол AMD равен 60°. Таким образом, градусная мера угла между плоскостями ABC и BDC равна 60°.
Ответ: 60°.
Равнобедренные треугольники ABC и BDC, каждый из которых имеет основание BC, не лежат в одной плоскости. Их высоты, проведенные к основанию, равны 3 см и 8 см соответственно, а расстояние между точками A и D равно 7 см. Найдите градусную меру угла между плоскостями ABC и BDC.
Решение. Опустим высоту AM в треугольнике ABC. По свойствам равнобедренного треугольника его высота является медианой, поэтому точка M является серединой отрезка BC. Тогда в равнобедренном треугольнике BDC отрезок DM является медианой и высотой, прямые DM и BC перпендикулярны. Угол AMD является линейным углом двугранного угла ABCD. По теореме косинусов в треугольнике AMD:
Так как косинус угла AMD равен угол AMD равен 60°. Таким образом, градусная мера угла между плоскостями ABC и BDC равна 60°.
Ответ: 60°.
Решите уравнение 
Решение. Выполним преобразования:
Пусть 
Имеем:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 
Докажите, что при всех допустимых значениях α значение выражения 
не зависит от α.
Решение. Пользуясь формулами 
и 
последовательно получаем:
Ответ: 3.
Докажите, что при всех допустимых значениях 
значение выражения 
не зависит от α.
Решение. Пользуясь формулами и последовательно получаем:
Ответ: 5.
Решите уравнение 
Решение. Последовательно получаем:
Ответ: 4.
Решите уравнение 
Решение. Последовательно получаем:
Ответ: 4.
Треугольник ABC — прямоугольный 
Точка K удалена на расстояние, равное 10 см, от каждой вершины треугольника. Найдите угол между прямой KC и плоскостью ABC.
Решение. Углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Прямая KO перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, перпендикулярна прямым, лежащим в данной плоскости: OA, OB и OC. Углом между прямой KC и плоскостью ABC является угол KCO. Согласно условию, отрезки AK, BK и CK равны, следовательно, треугольники AOK, BOK и COK равны по катету и гипотенузе (KO — общий катет). Из равенства треугольников следует равенство отрезков OA, OB и OC. Так как длина AB равна сумме длин равных отрезков OA и OB, длины этих отрезков равны 6 см. Найдем косинус угла KCO:
откуда 
Ответ: 
График функции 
получен сдвигом графика функции 
на 
единиц влево вдоль оси абсцисс и на 5 единиц вниз вдоль оси ординат. Найдите ординату точки пересечения графика функции и прямой 
Решение. Так как график функции получен сдвигом графика функции на единиц вправо вдоль оси абсцисс и на 5 единиц вниз вдоль оси ординат, функция f(x) задана уравнением 
Найдем ординату точки пересечения графика функции и прямой Для этого найдем значение функции f(x) в точке 
Ответ: −5.
Найдите абсциссы точек пересечения графика функций 
и прямой 
Решение. Решим уравнение 
Ответ: x = 5.
Найдите абсциссы точек пересечения графика функций 
и прямой
Решение. Решим уравнение 
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Пусть 
Тогда:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Пусть 
Тогда:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ:
Решите неравенство 
Решение. Выполним преобразования:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Выполним преобразования:
Ответ: 
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
Решение. Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций f(x) и g(x), решим уравнение 
Воспользовавшись формулой
получаем:
Ответ: 
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
Решение. Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций f(x) и g(x), решим уравнение 
Воспользовавшись формулой
получаем:
Ответ: 
Сократите дробь 
Решение. Выполним преобразования:
Ответ: 
Сократите дробь 
Решение. Выполним преобразования:
Ответ: 
Найдите все корни уравнения 
Решение. Выполним преобразования, воспользовавшись формулой 
Значения x, при которых 
не являются решениями данного уравнения, поэтому можем разделить обе части уравнения на 
получаем уравнение 
Примем за t 
имеем:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 
Найдите все корни уравнения 
Решение. Выполним преобразования, воспользовавшись формулой
Значения x, при которых не являются решениями данного уравнения, поэтому можем разделить обе части уравнения на получаем уравнение 
Примем за t имеем:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 