Решите неравенство 
Решение. Разделим обе части неравенства на 25x:
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Разделим обе части неравенства на 9x:
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Найдите наименьший положительный корень уравнения 
Решение. Найдём корни уравнения.
Таким образом, наименьший положительный корень будет равен 
Ответ: 
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения 
Решение. Решим уравнение:
Таким образом, наибольший отрицательный корень будет равен 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Представим 1 как 
а 
как 
Тогда уравнение приобретает следующий вид:
Решая получившуюся систему получаем:
Ответ: 0.
Решите уравнение 
Решение. Представим 1 как 
Тогда уравнение имеет вид:
Решая получившуюся систему получаем:
Ответ: 0.
Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся формулой суммы синусов:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся формулой суммы синусов:
Ответ:
Найдите наименьшее целое решение неравенства: 
Решение. Прологарифмируем обе части неравенства. Имеем:
Число 
больше 4 и меньше 5, поэтому наименьшее целое решение данного неравенства — число 5.
Ответ: 5.
Найдите наименьшее целое решение неравенства: 
Решение. Прологарифмируем обе части неравенства. Имеем:
Число 
больше 4 и меньше 5, поэтому наименьшее целое решение данного неравенства — число 4.
Ответ: 4.
Найдите значение выражения: 
Решение. Упростим:
Ответ: −2.
Найдите значение выражения: 
Решение. Упростим:
Ответ: −2.
Решите уравнение: 
Решение. Используем формулу для синуса двойного угла, получим однородное уравнение второй степени, решим его, разделив на 
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Используем формулу для синуса двойного угла, получим однородное уравнение второй степени, решим его, разделив на
Ответ: 
Найдите нули функции:
Решение. Решим уравнение 
:
Ответ: 
Найдите нули функции:
Решение. Решим уравнение :
Ответ: 
Найдите расстояние от точки пересечения графиков функций 
и 
до оси абсцисс.
Решение. Для нахождение абсциссы точки пересечения, приравняем правые части функций, а затем решим полученное уравнение, используя свойство логарифма 
:
Подставим абсциссу в уравнение одной из функций, чтобы найти ординату, модуль которой является искомым расстоянием:
Ответ: 
Найдите расстояние от точки пересечения графиков функций 
и 
до оси Ox.
Решение. Для нахождение абсциссы точки пересечения, приравняем правые части функций, а затем решим полученное уравнение, используя свойство логарифма :
Подставим абсциссу в уравнение одной из функций, чтобы найти ординату, модуль которой является искомым расстоянием:
Ответ: 
Решите неравенство: 
где 
и 
Решение. Сначала преобразуем выражение:
Теперь решим неравенство:
Ответ: (3; 4).
Решите неравенство: 
где 
и 
Решение. Сначала преобразуем выражение:
Теперь решим неравенство:
Ответ:
Найдите значение выражения: 
Решение. Используем формулу разности углов:
Известно, что 
Найдем
из прямоугольного треугольника со сторонами 
(см. изображение):
тогда 
откуда 
Подставим полученные данные:
Ответ: 
Найдите значение выражения: 
Решение. \cupИспользуем формулу разности углов:
Известно, что 
Найдем
из прямоугольного треугольника со сторонами (см. изображение):
тогда 
откуда 
Подставим полученные данные:
Ответ:
Решите уравнение: 
Решение. Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: {−2; −1}.
Решите уравнение: 
Решение. Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: {−1; 2}.
Решите уравнение 
и найдите расстояние между наименьшим положительным и наибольшим отрицательным корнями уравнения, отмеченными на координатной прямой.
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Наименьший положительный корень — 
наибольший отрицательный равен 
Тогда расстояние между ними равно: 
Ответ: 
Решите уравнение 
и найдите расстояние между наименьшим положительным и наибольшим отрицательным корнями уравнения, отмеченными на координатной прямой.
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Наименьшим положительным корнем уравнения является число 
а наибольший отрицательный корень равен 
расстояние между этими числами равно 
Ответ: 
Найдите в градусах корни уравнения 
удовлетворяющие условию 
Решение. Решим уравнение:
Найдём корни, которые удовлетворяют условию:
В серии корней (1) подходят значения при k = 0 и k = 1, то есть 0° и 180°, поскольку для этих корней выполняется исходное условие:
В серии корней (2) подходит значение при k = 1, то есть 135°, поскольку для этого корня выполняется исходное условие:
Ответ: 0°; 135°; 180°.
Найдите в градусах корень x0 уравнения 
удовлетворяющие условию 
Решение. Решим уравнение:
Найдём корни, которые удовлетворяют условию:
В серии корней (1) нам подходит значение при k = 0, то есть −60°, поскольку для этого корня выполняется исходное условие:
В серии корней (2) нам не подходит ни одно значение, поскольку ни для одного из корней не выполнено исходное условие.
Ответ: −60°.
Найдите область определения функции 
Решение. Функция существует, когда подкоренное выражение больше или равно нулю. Значит,
Так как основание больше нуля, при переходе к сравнению значений степени знак не меняем:
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Функция существует, когда подкоренное выражение больше или равно нулю. Значит,
Так как основание больше нуля, при переходе к сравнению значений степени знак не меняем: 
Ответ: 
Решите уравнение 
и запишите его корни x, удовлетворяющие условию 
Решение. Исходное уравнение равносильно совокупности:
Так как по условию 
то единственный корень, который принадлежит указанному промежутку — 
Ответ: 
Решите уравнение 
и запишите его корни x, удовлетворяющие условию 
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Так как по условию 
то единственный корень, который принадлежит указанному промежутку —
Ответ: 
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
Решение. Запишем в виде уравнения:
Ответ: {
}.
}.}.Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций и 
Решение. Запишем в виде уравнения:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Используя свойства логарифмов 
и 
получаем
Ответ:
Решите неравенство 
Решение. Используя свойства логарифмов и получаем
Ответ:
Решите уравнение
Решение. Упростим:
Пусть 
тогда:
Следовательно:
Ответ: 
Решите уравнение
Решение. Упростим:
Пусть 
тогда:
Следовательно:
Ответ: 
Решите неравенство 
где a равно наибольшему значению y, удовлетворяющему системе 
Решение. Найдем сначала наибольшее значение y из системы
Это система Виета для уравнения 
Таким образом, наибольшее значение y = 4. Решим для a = 4 данное неравенство:
Ответ: 
Решите неравенство 
где b равно значению x, удовлетворяющему системе 
Решение. Найдем сначала наибольшее значение y из системы:
Решим 
данное неравенство:
Ответ: (−21; −18).
Решите уравнение 
Решение. Приведем к общему знаменателю и решим:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Вынесем за скобки общий множитель и решим:
Ответ:
Решите уравнение 
и укажите какое-нибудь его решение, удовлетворяющее неравенству 
Решение. Упростим:
Заметим, что 
если cos2x = 0, то sin2x = 1, что противоречит условию, тогда разделим на cos2x. Имеем:
Решим методом интервалов неравенство:
Положительный угол 
удовлетворяет данному неравенству.
Ответ: 
Решите уравнение 
и укажите какое-нибудь его решение, удовлетворяющее неравенству 
Решение. Упростим:
Заметим, что если cos2x = 0, то sin2x = 1, что противоречит условию, тогда разделим на cos2x. Имеем:
Решим методом интервалов неравенство:
Так как 
то 
удовлетворяет данному неравенству.
Ответ: 
Найдите область определения выражения 
Решение. Область допустимых значений задётся системой:
Ответ: 
Найдите область определения выражения 
Решение. →Область допустимых значений задётся системой:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Так как 
то 
Тогда, 
Значит, 
Тогда получаем:
Тогда: 
Ответ:
Решите неравенство 
Решение. Так как 
то 
Тогда, 
Значит, 
Тогда получаем:
Тогда: 
Ответ:
Найдите координаты точек пересечения прямой 
с осями координат, если известно, что 
и 
Решение. Найдем 
Найдем 
Зная, что:
Получаем:
Имеем 
Это уравнение прямой. Найдем точки пересечения с осью Oy:
Прямая пересекает ось Oy в точке (0; 4). Найдем точки пересечения с осью Ox :
Прямая пересекает ось Ox в точке (4; 0).
Ответ: (0; 4); (4; 0).
Найдите координаты точек пересечения прямой 
с осями координат, если известно, что 
и 
Решение. Найдем a:
Найдем b, зная, что:
Получаем:
Имеем 
Это уравнение прямой. Найдем точки пересечения с осью Oy:
Прямая пересекает ось Oy в точке (0; −3). Найдем точки пересечения с осью Ox:
Прямая пересекает ось Ox в точке 
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Перейдем в одному основанию:
Решите неравенство 
Решение. Перейдем в одному основанию в обеих частях:
Найдите значение выражения 
если 
Решение. Упростим:
Значит, 
Ответ: 
Найдите значение выражения 
если 
Решение. Упростим:
Подставим:
тогда 
Значит, 
Ответ: 
Вычислите 
если 
и 
Решение. Заметим, что число 11 равно квадрату искомой разности, к которой прибавили удвоенной произведение вычитаемого и уменьшаемого, то есть
Так как по условию 
то есть, разность отрицательна, тогда ответом будет являться число −3 — отрицательный корень из значения разности.
Ответ: −3.
Вычислите 
если 
и
Решение. Заметим, что число 18 равно квадрату искомой разности, к которой прибавили удвоенной произведение вычитаемого и уменьшаемого, то есть
Так как по условию 
то есть, разность отрицательна, тогда ответом будет являться число −4 — отрицательный корень из значения разности.
Ответ: −4.
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Найдите значение выражения 
если 
и 
Решение. Упростим:
Заметим, что 
так как, если 
то 
что противоречит условию. Значит, разделим на 
Имеем:
Из формулы 
имеем:
Тогда
Подставим:
Ответ: −8.
Найдите значение выражения 
если 
и
Решение. Упростим:
Заметим, что так как, если то что противоречит условию. Значит, разделим на Имеем:
Из формулы имеем:
Тогда
Подставим:
Ответ: −9.
Выясните сколько корней имеет уравнение 
на промежутке от 10° до 200°.
Решение. Решим уравнение 
Полученные корни запишем в градусной мере:
Промежутку 10° < x < 200° принадлежат корни 
и 
Ответ: 2.
Выясните, сколько корней имеет уравнение 
на промежутке от -100° до 100°.
Решение. Решим уравнение 
Полученные корни запишем в градусной мере:
Указанному в условии промежутку соответствуют корни 
и 
Ответ: 3.
Решите неравенство 
Решение. Представим 0 в виде 
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Представим 0 в виде 
Решите неравенство 
Решение. Упростим:
Пусть 
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Упростим:
Пусть 
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: (− 1000; − 10).
При каком наименьшем положительном значении аргумента равны значения функций 
и 
Решение. Запишем в виде уравнения:
Найдем наименьший положительный корень. Возьмем k = 0 и подставим в полученные ответы : 
При k = 1 будут получаться большие корни, следовательно, наименьший положительный корень
Ответ:
При каком наибольшем отрицательном значении аргумента равны значения функций 
и 
Решение. Запишем в виде уравнения:
Найдем наибольший отрицательный корень. При k = 0 все корни равны нулю. Возьмем k равный −1 и подставим в полученные ответы:
При k = −2 будут получаться меньшие корни, следовательно, наибольший отрицательный корень 
Ответ:
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение, выполнив преобразования:
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Решим уравнение, выполнив преобразования:
Ответ: 
Найдите все корни уравнения 
Решение. Разделим обе части уравнения на 25x:
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 1.
Найдите все корни уравнения 
Решение. Разделим обе части уравнения на 9x:
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 1.
Используйте свойства функций и решите неравенство 
Решение. Заметим, что функция
—
—
может иметь единственный корень, в данном случае этим корнем является число 4.
Значения функции не меньше значений функции при 
Следовательно, решением неравенства 
является промежуток 
Ответ: (0; 4].
Используйте свойства функций и решите неравенство 
Решение. Заметим, что функция
—
—
может иметь единственный корень, в данном случае этим корнем является число 3.
Значения функции не меньше значений функции при 
Следовательно, решением неравенства 
является промежуток 
Ответ: (0; 3].
Найдите все значения переменной, при которых равны значения выражений 
и 
Решение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим однородное тригонометрическое уравнение второй степени:
Ответ: 
Найдите все значения переменной, при которых равны значения выражений 
и 
Решение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим однородное тригонометрическое уравнение второй степени:
Ответ: 
Найдите сумму целых решений неравенства 
Решение. Упростим выражение:
Ответ: 9.
Найдите сумму целых решений неравенства 
Решение. Упростим выражение:
Ответ: 11.
Решите неравенство 
Решение. Решим неравенство, применив метод рационализации:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Решим неравенство, применив метод рационализации:
Ответ: 
Материальная точка движется прямолинейно по закону 
(время измеряется в секундах, расстояние в метрах). В какой момент времени точка имеет наименьшую скорость? Найдите эту скорость.
Решение. Найдем закон изменения скорости:
Таким образом, наименьшее значение скорости равно
Ответ: 4 с, 5 м/c.
Материальная точка движется прямолинейно по закону 
(время измеряется в секундах, расстояние в метрах). В какой момент времени точка имеет наименьшую скорость? Найдите эту скорость.
Решение. Найдем закон изменения скорости:
Таким образом, наименьшее значение скорости равно
Ответ: 3 с, 6 м/с.
Найдите область определения функции 
Решение. Функция существует, когда подкоренное выражение больше или равно нулю. Значит,
Так как основание больше нуля, при переходе к сравнению значений степени знак не меняем:
Ответ: 
Найдите среднее арифметическое корней уравнения 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 
Найдите среднее арифметическое корней уравнения 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 3.
Найдите значение выражения 
Решение. Преобразуем выражение 
и получим:
Ответ: 
Найдите значение выражения 
Решение. Преобразуем выражение 
и получим:
Ответ: 
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Решение. Исходная функция — это многочлен четвертой степени, поэтому функция непрерывна, а график не имеет асимптот. Найдем точки пересечения с осями координат:
и 
Покажем, что функция является четной
Возьмем ее производную
при 
и 
при 
Поэтому функция возрастает на промежутках 
и 
убывает на промежутках 
и 
—
— точки минимума. При этом 
и
График представлен на рисунке.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Решение. Исходная функция — это многочлен четвертой степени, поэтому функция непрерывна, а график не имеет асимптот. Найдем точки пересечения с осями координат:
Покажем, что функция является четной
Возьмем ее производную
при 
и при 
Поэтому функция возрастает на промежутках 
и 
убывает на промежутках 
и 
—
— точки минимума. При этом 
и
График представлен на рисунке.
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 
Найдите наименьший положительный корень уравнения 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 
Найдите точки экстремума функции 
Решение. Данная функция определена при 
Возьмем производную этой функции:
получим:
и максимум в точке 
Ответ: 
Найдите точки экстремума функции 
Решение. Данная функция определена при 
Возьмем производную этой функции:
получим:
и максимум в точке 
Ответ: 
Найдите, при каких значениях аргумента график функции 
расположен не выше графика функции 
Решение. Запишем в виде неравенства:
тогда
Ответ: 
Найдите, при каких значениях аргумента график функции 
расположен не ниже графика функции 
Решение. Запишем в виде неравенства:
тогда
Ответ: 
Найдите все корни уравнения 
Решение. Поскольку функции 
и 
возрастающие, то функция 
возрастает на всей области определения, следовательно, искомое уравнение имеет не более одного корня. При 
уравнение обращается в верное числовое равенство. Таким образом, число −4 является единственным корнем данного уравнения.
Ответ: −4.
Найдите все корни уравнения 
Решение. Поскольку функции 
и 
возрастающие, то функция возрастает на всей области определения, следовательно, искомое уравнение имеет не более одного корня. При 
уравнение обращается в верное числовое равенство. Таким образом, число −5 является единственным корнем данного уравнения.
Ответ: −5.
На поверхности шара с центром в точке O выбраны точки A, B и C так, что у пирамиды OABC все ребра равны. Найдите объем шара, если точка O удалена от плоскости ABC на 
Решение. Сечением шара плоскостью ABC является круг с центром O1. Пирамида OABC — правильная пирамида. Точка O1 — центр описанной окружности равностороннего треугольника ABC. Отрезок OO1 — высота пирамиды OABC. Пусть ребро пирамиды равно a, тогда радиус AO1 равен
В прямоугольном треугольнике AO1O по теореме Пифагора имеем:
Таким образом, объем шара равен
Ответ: 
Найдите все корни уравнения
Решение. Для эксперта: задание похоже на https://math3b.reshuct.by/problem?id=9
Разделим обе части неравенства на 25x:
Пусть тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 1.
Решите неравенство 
Решение. Запишем в следующем виде:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Запишем в следующем виде:
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Функция существует, когда знаменатель не равен нулю. Значит,
Таким образом, областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, 
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Функция существует, когда знаменатель не равен нулю. Значит,
Таким образом, областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, 
Ответ: 
Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: −18°.
Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: −36°.
Найдите корни уравнения 
Решение. Решим уравнение:
тогда
Ответ: 
Найдите корни уравнения 
Решение. Решим уравнение:
тогда
Найдите все решения неравенства 
Решение. Последовательно получаем:
Ответ: 
Найдите все решения неравенства 
Решение. Последовательно получаем:
Ответ: 
Найдите произведение корней уравнения 
Решение. Последовательно получаем:
Таким образом, произведение корней уравнения равно 12.
Ответ: 12.
Найдите произведение корней уравнения 
Решение. Последовательно получаем:
Таким образом, произведение корней уравнения равно 20.
Ответ: 20.
Найдите наименьший из возможных углов, образованных с положительным направлением оси абсцисс касательной к графику функции 
Решение. Найдем производную функции:
Так как старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, наименьшее значение он принимает в точке вершины параболы 
Найдем абсциссу вершины параболы:
Таким образом, квадратный трехчлен 
принимает наименьшее значение при 
Найдем тангенс наименьшего угла, образованного с положительным направлением оси абсцисс касательной к графику функции 
Так как 
Ответ: 45°.
Найдите наименьший из возможных углов, образованных с положительным направлением оси абсцисс касательной к графику функции 
Решение. Найдем производную функции:
Так как старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, наименьшее значение он принимает в точке вершины параболы 
Найдем абсциссу вершины параболы:
Таким образом, квадратный трехчлен 
принимает наименьшее значение при 
Найдем тангенс наименьшего угла, образованного с положительным направлением оси абсцисс касательной к графику функции 
Так как
Ответ: 45°.
Основание пирамиды — треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 60°. Найдите объем пирамиды.
Решение. Прямоугольные треугольники DOA, DOB и DOC равны по катету и острому углу, следовательно, их катеты OA, OB и OC равны. Воспользуемся формулой Герона и найдем площадь треугольника ABC:
Точка O является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Найдем радиус окружности:
откуда 
Так как боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 60°, имеем:
Найдем объем пирамиды:
Ответ: 
Основание пирамиды — треугольник со сторонами 5, 5 и 8. Все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 30°. Найдите объем пирамиды.
Решение. Прямоугольные треугольники DOA, DOB и DOC равны по катету и острому углу, следовательно, их катеты OA, OB и OC равны. Воспользуемся формулой Герона и найдем площадь треугольника ABC:
Точка O является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Найдем радиус окружности:
откуда 
Так как боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 30°, имеем:
Найдем объем пирамиды:
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Область определения функции f(x) задается системой неравенств:
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Область определения функции f(x) задается системой неравенств:
Ответ: 
График функции 
получен сдвигом графика функции 
на 
единиц вправо вдоль оси абсцисс и на 3 единицы вверх вдоль оси ординат. Найдите ординату точки пересечения графика функции и прямой 
Решение. Так как график функции получен сдвигом графика функции на единиц вправо вдоль оси абсцисс и на 3 единицы вверх вдоль оси ординат, функция f(x) задана уравнением 
Найдем ординату точки пересечения графика функции и прямой Для этого найдем значение функции f(x) в точке 
Ответ: 3.
Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси и проходящей на расстоянии 6 от нее, если площадь полной поверхности цилиндра равна 
а площадь боковой поверхности — 
Решение. Согласно условию, площадь полной поверхности цилиндра равна 600π, а площадь боковой поверхности цилиндра равна 400π. Тогда площадь основания равна полуразности площади полной поверхности цилиндра и площади боковой поверхности, то есть 100π. Площадь основания цилиндра равна
откуда r = 10. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 
откуда h = 20. Осью цилиндра является отрезок O1O2, искомое сечение — прямоугольник ABCD. Плоскость ABC перпендикулярна плоскостям оснований цилиндра. В треугольнике CO1B опустим высоту O1K. Так как плоскость ABC перпендикулярна плоскости основания цилиндра, прямая O1K перпендикулярна плоскости ABC, отрезок O1K является расстоянием от оси цилиндра до плоскости сечения. Треугольник CO1B является равнобедренным, так как его стороны CO1 и O1B являются радиусами одной окружности. Проведенная высота O1K по свойству равнобедренного треугольника является медианой, таким образом, отрезки BK и KC равны. В прямоугольном треугольнике O1KC по теореме Пифагора:
тогда длина BC равна 16. Длины образующий цилиндра равны его высоте, откуда CD = 20. Найдем площадь прямоугольника ABCD:
Ответ: 320.
Решите неравенство 
Решение. Рассмотрим два случая: 
и 
Первый случай:
Система неравенств не имеет решений. Рассмотрим второй случай — Получаем:
Ответ: (0; 2).
Решите неравенство 
Решение. Рассмотрим два случая: 
и 
Первый случай:
Система неравенств не имеет решений. Рассмотрим второй случай — Получаем:
Ответ: (3,5; 5).
Найдите нули функции 
Решение. Решим уравнение 
Ответ: 
Найдите нули функции 
Решение. Решим уравнение 
Ответ: 
Постройте график функции 
Решение. Воспользуемся формулой 
получаем:
График функции 
получен из графика косинуса сдвигом его на одну единицу вверх вдоль оси Oy и на 
единиц вправо вдоль оси Ox.
Постройте график функции 
Решение. Воспользуемся формулой получаем:
График функции получен из графика косинуса сдвигом его на одну единицу вниз вдоль оси Oy и на 
единиц вправо вдоль оси Ox.
Решите неравенство 
Решение. По смыслу задачи x > −1. При таких x знаменатель дроби x + 2 положителен. Числитель дроби x2 − x − 1 положителен при 
и 
Таким образом, областью определения неравенства является множество 
На области определения неравенства применим метод рационализации, получаем:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. По смыслу задачи x > 1. При таких x знаменатель дроби x + 3 положителен, и числитель дроби x2 + x − 1 принимает только положительные значения. Таким образом, область определения неравенства — x > 1. На области определения применим метод рационализации, получаем:
Ответ: 
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Решение. Область определения функции задается множеством 
Проведем исследование функции на четность, проверим равенство f(−x) = f(x):
тогда f(−x) ≠ f(x) и f(−x) ≠ −f(x), функция не является четной или нечетной. Найдем нули функции:
Найдем точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy, найдем значение функции f(0):
Найдем точки экстремумов, экстремумы и промежутки монотонности функции. Возьмем производную:
Найдем нули производной:
Определим промежутки убывания и возрастания функции:
Тогда: 
Построим график функции:
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Решение. Область определения функции задается множеством Проведем исследование функции на четность, проверим равенство f(−x) = f(x):
тогда f(−x) ≠ f(x) и f(−x) ≠ −f(x), функция не является четной или нечетной. Найдем нули функции:
Найдем точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy, найдем значение функции f(0):
Найдем точки экстремумов, экстремумы и промежутки монотонности функции. Возьмем производную:
Найдем нули производной:
Определим промежутки убывания и возрастания функции:
Тогда: 
Построим график функции:
Решите неравенство 
Решение. Выполним преобразования, воспользовавшись равенством 
Неравенство сводится к решению неравенства 
имеем:
Применим метод интервалов:
Получаем: 
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Выполним преобразования, воспользовавшись равенством 
Неравенство сводится к решению неравенства 
имеем:
Применим метод интервалов:
Получаем: 
Ответ: 